[离散时间信号处理学习笔记] 7. z变换

z变换及其收敛域

回顾前面的文章，序列$x[n]$的傅里叶变换（实际上是DTFT，由于本书把它叫做序列的傅里叶变换，因此这里以及后面的文章也统一称DTFT为傅里叶变换）被定义为

$X(e^{jomega}) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n} }$

序列$x[n]$的z变换被定义成

$X(z) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n} }$

其中$z$就是一个复数变量，可见$z$变换与傅里叶变换一样把序列变成了函数。复变量$z$可以表示形式$z=|z|e^{jomega}=re^{jomega}$，代入z变换变成

$X(z) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]r^{-n}e^{-jomega n} }$

可以发现傅里叶变换就是$r=1$的z变换。

 

要使得z变换有意义，那么变换所得的函数必须在有限处收敛，即

$egin{align*}
|X(z)|&= left|sum_{n=-infty}^{infty}x[n]r^{-n}e^{-jomega n} ight|\
&<sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]|r^{-n} \
&=x[0]+ sum_{n=1}^{infty}|x[n]|(r^{-1})^n+sum_{n=1}^{infty}|x[-n]|r^n <infty
end{align*}$

按照root test，需要满足以下条件才能使得函数收敛

$left{egin{matrix}
displaystyle{ limsup_{n oinfty}|x[n]|^{frac{1}{n}}r^{-1} < 1 }\
displaystyle{ limsup_{n oinfty}|x[-n]|^{frac{1}{n}}r < 1 }
end{matrix} ight.$

即

$left{egin{matrix}
r &> &displaystyle{lim_{n oinfty} |x[n]|^{frac{1}{n}}} \
r &< &displaystyle{lim_{n oinfty} |x[-n]|^{frac{1}{-n}}}
end{matrix} ight.$

观察上面的不等式，可以发现z变换的收敛可以分为五种

• $x[n]$是右边序列，即序列在$n<N_1<infty$处全为0，那么该序列的收敛域就是从极点（使得函数趋于$pminfty$的点）往外延伸到$z=pminfty$
• $x[n]$是左边序列，即序列在$n>N_2>-infty$处全为0 ，那么该序列的收敛域就是从极点向内延伸至$z=0$
• $x[n]$是双边序列，把该序列分成右边序列与左边序列后，如果这两个序列的z变换的收敛域有重合的部分，则该序列z变换的收敛域呈圆环状
• $x[n]$是双边序列，把该序列分成右边序列与左边序列后，如果这两个序列的z变换的收敛域没有重合的部分，则该序列z变换不存在收敛域
• $x[n]$是有限长序列，那么该序列的z变换必定在有限的范围内收敛

图中阴影部分为收敛域，其中红色圆圈是$|z| = r = 1$，即傅里叶变换，如果z变换的收敛域包含$r=1$的圆圈，就表明该序列的傅里叶变换收敛。

z变换例子

考虑一个为两个实指数和的信号

$x[n] = left(frac{1}{2} ight)^n u[n]+left(-frac{1}{3} ight)^n u[n]$

其z变换为

$egin{align*}
X(z) &= sum_{n=-infty}^{infty}left{ left(frac{1}{2} ight )^n u[n]+left(-frac{1}{3} ight )^n u[n] ight }z^{-n}\
&=sum_{n=-infty}^{infty}left(frac{1}{2} ight )^n u[n]z^{-n}+sum_{n=-infty}^{infty}left(-frac{1}{3} ight )^n u[n]z^{-n}\
&=sum_{n=0}^{infty}left(frac{1}{2}z^{-1} ight )^n +sum_{n=0}^{infty}left(-frac{1}{3}z^{-1} ight )^n \
&=frac{1}{1-frac{1}{2}z^{-1}}+frac{1}{1+frac{1}{3}z^{-1}} quad Geometric Series\
&=frac{2zleft(z-frac{1}{12} ight )}{left(z-frac{1}{2} ight )left(z+frac{1}{3} ight )}
end{align*}$

为了使z变换收敛，必须满足条件

$left{egin{matrix}
left| frac{1}{2}z^{-1} ight|&<&1\
left| -frac{1}{3}z^{-1} ight|&<&1
end{matrix} ight.$

即

$left{egin{matrix}
left| z ight|&>&frac{1}{2}\
left| z ight|&>&frac{1}{3}
end{matrix} ight.$

由此可得到收敛域为$|z|>frac{1}{2}$。观察z变换的结果，可以发现：

当$z=frac{1}{2}$或者$z=-frac{1}{3}$时，z变换趋于无穷，因此这两个点为极点

当$z=0$或者$z=frac{1}{12}$时，z变换为0，因此这两个点为零点