[离散时间信号处理学习笔记] 12. 连续时间信号的离散时间处理以及离散时间信号的连续时间处理

连续时间信号与离散时间信号之间的关系

下表为各符号的解释

Symbol	FT	DTFT	Info
$x_c(t)$	$X_c(jOmega)$	-	连续时间信号
$x[n]$	-	$X(e^{jomega})$	离散时间信号
$s(t)$	$S(jOmega)$	-	周期脉冲函数、即采样函数
$x_s(t)$	$X_s(jOmega)$	-	信号周期采样的数学表示
$Omega_N$	-	-	奈奎斯特频率，也就是带限信号的受限频率
$Omega_s$	-	-	采样频率
$T$	-	-	采样周期
$h_r(t)$	$H_r(jOmega)$	-	连续时间低通滤波器
$h[n]$	-	$H(e^{jomega})$	离散时间单位脉冲响应
$h_c(t)$	$H_c(jOmega)$		连续时间单位脉冲响应

C/D转换

从$x_c(t)$到$x[n]$是一个连续到离散的过程，该过程包括以下步骤：

连续信号$x_c(t)$与采样信号$s(t)$相乘得到采样值加权的周期脉冲$x_s(t)$，最后再经过一步转换才能变成离散的采样序列$x[n]$，这就是一个数学上理想的连续到离散的转换，记为C/D。

D/C转换

那么反过来，从$x[n]$到$x_c(t)$就是一个离散到连续的过程，该过程包括以下步骤：

离散序列$x[n]$转换成周期为$T$的加权周期脉冲$x_s(t)$，然后就可以按照上一节课所描述的重构方法来得到原连续信号$x_c(t)$，这就是一个数学上理想的离散到连续的转换，记为$D/C$。

 

连续信号与离散信号的傅里叶变换之间的联系

离散时间序列$x[n]$与连续时间信号$x_c(t)$之间有如下关系

$x[n] = x_c(nT) , -infty<n<infty$

对$x_s(t)$进行傅里叶变换可以得到

$displaystyle{ X_s(jOmega) = sum_{n=-infty}^{infty}x_c(nT)e^{-jOmega T n} = sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jOmega Tn} }$

对$x[n]$进行离散傅里叶变换可以得到

$displaystyle{ X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{infty}x[n]e^{-jomega n} }$

对比发现

$displaystyle{ X_s(jOmega) = X(e^{jomega})|_{omega = Omega T} = X(e^{jOmega T})}$

$X(jOmega)$相当于$X(e^{jomega})$进行了一个$omega = Omega T$的尺度变换，这是因为$x[n]$的离散时间傅里叶变换的是假设以$1$为周期对信号进行采集的，而这里实际的采集周期为$T$。

另外我们上一课通过傅里叶卷积定理得到了一个公式

$egin{align*}
X_s(jOmega) &= frac{1}{T}X_c*Ш_{frac{2pi}{T}}\
&= frac{1}{T}X_c(jOmega)*sum_{k=-infty}^{infty}deltaleft(Omega-frac{2pi k}{T} ight)\
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft[jleft( Omega-frac{2pi k}{T} ight ) ight ]quad delta convolution theorem\
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft( jleft(  Omega-kOmega_s ight) ight) quad letting Omega_s=frac{2pi}{T}
end{align*}$

结合上述结论，可以得到$x[n]$的DTFT为

$egin{align*}  X(e^{jomega})|_{omega=Omega T}
&= X(e^{jOmega T})\
&= X(jOmega) \
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft( jleft(  Omega-kOmega_s ight) ight) \
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft[ jleft(frac{omega}{T}-frac{2pi k}{T} ight ) ight ] qquad left{egin{matrix}Omega &= &frac{omega}{T}\ Omega_s &= &frac{2pi}{T} end{matrix} ight.\
end{align*}$

也就是说，如果对连续函数$x_c(t)$进行周期为$T$的采样得到离散序列$x[n]$，那么它们的傅里叶变换之间就有以下关系

$color{red}{egin{align*} X(e^{jomega})
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft[ jleft(Omega-frac{2pi k}{T} ight ) ight ]\
&= frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft[ jleft(frac{omega}{T}-frac{2pi k}{T} ight ) ight ] qquad omega=Omega T
end{align*}}$

 

连续时间信号的离散时间处理

在我们生活的世界当中，无论是声音、光、电等都是连续的信号，而计算机处理的是离散信号，因此一般来说我们都需要先把连续信号转换成离散信号，计算机对该离散信号进行处理后再重新转换为连续信号进行输出。

这里假设系统以及输入信号都满足奈奎斯特采样定理。接下来，我们主要讨论离散时间系统是如何对连续信号产生影响的。

频率响应

输出$y_r(t) = mathcal{F}^{-1}Y_{r}(jOmega)$，而通过对上图系统的逆推，我们可以得到以下式子

$egin{align*}
Y_r(jOmega)
&= H_r(jOmega)Y(e^{jomega}) qquad lowpass filter H_r(jOmega) for restruction\
&= H_r(jOmega)H(e^{jomega})X(e^{jomega})qquad LTI system frequency response H(e^{jomega})\
&= H_r(jOmega)H(e^{jOmega T})frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}X_cleft[jleft(Omega-frac{2pi k}{T} ight ) ight ] \
&=left{ egin{matrix} H(e^{jOmega T})X_c(jOmega), & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.
qquad because H_r(jOmega) = left{egin{matrix}T, & |Omega|<pi/T\ 0, & |Omega|geqslant pi/T end{matrix} ight.\
&= H_{eff}(jOmega)X_c(jOmega) qquad H_{eff}(jOmega) = left{ egin{matrix} H(e^{jOmega T}), & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.
end{align*}$

从该推导的式子可以得到以下结论

对于一个连续时间信号的离散时间处理系统，如果该系统满足两个因素：

• 离散时间系统的是LTI系统
• 输入信号为带限信号，并且采样率满足奈奎斯特采样定理

则该系统等效于一个连续时间LTI系统，其有效频率响应为

$color{red}{H_{eff}(jOmega) = left{ egin{matrix} H(e^{jOmega T}), & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.}$

单位脉冲响应

该等式可以说是指出了离散时间系统的频率响应$H(e^{jOmega T})$以及等效连续时间系统的频率响应$H_c(jOmega) = H_{eff}(jOmega)$之间的关系。那么它们的单位脉冲响应之间又具有怎样的关系呢？

这里假设连续时间单位脉冲响应$h_c(t)$与离散时间单位脉冲响应$h[n]$之间有如下关系

$h[n] = h_c(nT)$

那么有

egin{align*}
H_{eff}(jOmega) &= left{ egin{matrix} H(e^{jOmega T}), & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.\
&= left{ egin{matrix} displaystyle{frac{1}{T}sum_{k=-infty}^{infty}H_{c}left[jleft( Omega-frac{2pi k}{T} ight) ight]}, & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.qquad assume h[n]=h_c(nT)\
&= left{ egin{matrix} frac{H_c(jOmega)}{T}, & |Omega|<pi/T\ 0,& |Omega|geqslant pi/Tend{matrix} ight.\
end{align*}

因此我们如果稍作调整，假设

$h[n] = Th_c(nT)$

则能使得$H_{eff}(jOmega) = H_c(jOmega),|Omega|<pi/T$。

离散时间信号的连续时间处理

这种系统相对来说较为罕见，一般不会用这种方法来实现离散时间系统，不过它提供了对某些离散时间系统的一种有用解释，如下面的例子，非整数延迟系统。

这里假设系统以及输入信号都满足奈奎斯特采样定理。因此有

$x_c(t) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}x[n]frac{sin[pi(t-nT)/T]}{pi(t-nT)/T} }$

$y_c(t) = displaystyle{ sum_{n=-infty}^{infty}y[n]frac{sin[pi(t-nT)/T]}{pi(t-nT)/T} }$

式中，$x[n] = x_c(nT),y[n] = y_c(nT)$。它们在频域有如下关系（第一小节的结论）

$X_c(jOmega) = TX(e^{jOmega T}),qquad |Omega|<pi/T$

$Y_c(jOmega) = H_c(jOmega)X_c(jOmega)$

$Y(e^{jomega}) = frac{1}{T}Y_cleft( jfrac{omega}{T} ight),qquad |omega|<pi$

这三条式子整理后可以得到

$color{red}{H(e^{jomega}) = H_c(jfrac{omega}{T}),qquad |omega|<pi}$

或者可以写成

$color{red}{H(e^{jOmega T}) = H_c(jOmega),qquad |Omega|<pi/T}$

例子

考虑一个离散时间系统，其频率响应为

$H(e^{jomega}) = e^{-jomegaDelta}$

当$Delta$是一个整数时，该系统有一个明确的解释——延迟$Delta$，即

$y[n] = x[n-Delta]$

当$Delta$不是整数时，上面的式子没有正规意义，也无法通过对$x[n]$移位得到输出。此时我们可以用本节学习的内容来进行解释，把该离散时间系统等效为对$x[n]$进行D/C转换后，进行连续时间处理，然后进行C/D转换得到输出。其中的连续时间处理系统的频率响应为

$H_c(jOmega) = H(e^{jOmega T}) = e^{-jOmega TDelta}$

通过该频率响应可以求得，对于连续时间信号$x_c(t)$以及连续时间信号$y_c(t)$，他们具有如下关系

$y_c(t) = x_c(t-TDelta)$

其中$x_c(t)$是通过对$x[n]$进行内插得到的，在对$x_c(t)$进行$TDelta$的延迟后得到$y_c(t)$，然后进行周期为$T$的采样则得到$y[n]$，即

$egin{align*}
y[n] &=y_c(nT)\
&= x_c(nT-TDelta)\
&= left.sum_{k=-infty}^{infty}x[k]frac{sin[pi(t-TDelta-kT)/T]}{pi(t-TDelta-kT)/T} ight|_{t=nT}\
&= sum_{k=-infty}^{infty}x[k]frac{sinpi(n-k-Delta)}{pi(n-k-Delta)}qquad
end{align*}$

按照卷积的定义，该离散时间系统的单位脉冲响应为

$h[n] = frac{sinpi(n-Delta)}{pi(n-Delta)}$