91 最小调整代价

对于数组[1, 4, 2, 3]和target=1，最小的调整方案是调整为[2, 3, 2, 3]，调整代价之和是2。返回2。

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背包问题

动态规划(DP)

思路：动态规划。

dp[i][j]表示调整到第 i 个数时，第 i 个数取值 j 为代价和最小。【意思是，第 i 个数取值 j 时，0~i 子数组的调整代价和最小是多少，不是单个数的调整代价最小】

如何计算第 i 个数取值 j 时，代价和最小值是多少呢？

显然，假设dp[i-1][k]已知，则dp[i][j] = dp[i-1][k] + abs(j-A[i])。对每个 j 来说，abs（ j-A[i] ）可以确定，但 dp[i-1][k] 却随着 k 值变化有多种可能，所以要找到那个最小值。对于确定的 j 来说，k的取值范围也确定了，因为二者差值小于target。所以可以在满足条件的k值里寻找dp[i-1][k]的最小值。【k 表示前一个数，j表示现在的数。假设 j 确定，那么 k 的取值就是在一个范围内，因为差值不能超过target。】

参考此文

这样，计算到最后一个元素时，每个 j 都有一个对应的最小代价和，找出其中最小的，就是整个数组的最小代价和了。

AC代码：

class Solution {
public:
    /*
     * @param A: An integer array
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    int MinAdjustmentCost(vector<int> &A, int target) {
        // write your code here
    int size=A.size();
    if (size<2)
    {
        return 0;
    }
    vector<vector<int>> dp(size,vector<int>(101,INT_MAX));//返回最后一行最小值，所以初值取int最大值，避免列索引为0的元素的干扰;
    for (int i=0;i<size;i++)
    {
        for (int j=1;j<101;j++)//数组元素取值1~100;
        {
            if (i==0)
            {
                dp[i][j]=abs(j-A[i]);
            }
            else
            {
                //j值固定后，k取值范围随之固定;
                for (int k=max(1,j-target);k<=min(j+target,100);k++)//注意循环条件是小于等于;
                {
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],abs(j-A[i])+dp[i-1][k]);
                }
            }
        }
    }
    /*int res=INT_MAX;
    for (int i=1;i<101;i++)
    {
        res=min(res,dp[size-1][i]);
    }*/
    int res=*min_element(dp[size-1].begin(),dp[size-1].end());
    return res;
    }
};

代码实现时有几处需要注意：

1. j的取值范围。

按照题意数组元素的取值范围是【1，100】，所以定义dp时列尺寸可以为101，舍弃掉 j 为0的那列不再计算。

虽然不计算dp【i】【0】，但要防止最后求dp最后一行最小值时的干扰，所以可以将dp数组初值全部赋值为INT_MAX。也可以将数组初值赋值为0，中间二重循环时再临时赋值INT_MAX，最后计算最后一行最小值时将第一个元素去除。说了半天其实是写代码时要注意逻辑严谨。

以及，j的取值可以进一步优化。由题意，调整数组使其相邻元素差值在一定范围内，意思是减小元素间的差异，“大的变小小的变大”，所以 j 最大值（也即dp列尺寸）可以直接定义为数组A的最大元素值。

2. j值固定后，k的取值范围是如何确定的

我们知道，1≤k≤100（或者A的最大元素）且abs（k-j）≤ target，好了，k取值范围可以确定了，取上述两个不等式的交集。

abs（k-j）≤ target可以化简为：k>j，k ≤ target+j；k ≤ j，k ≥ j-target。求交集后，max(1,j-target) ≤ k ≤ max(j+target,100)，画个区间图就明白了。

PS：虽然一开始想到了用动态规划求解，但具体怎么做还是一筹莫展，最后还是参照了网上的答案才做出来，这种题不看别人的解法绝对想不出来用二维dp数组来解决，还在那里傻兮兮的推导一维dp的状态转移方程……

其他参考：

LintCode-最小调整代价

Lintcode: Minimum Adjustment Cost 解题报告这个答案没怎么细看……

91 最小调整代价

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样例