大O法时间复杂度计算

困惑的点——log，如何计算得出？

 

① 上限：用来表示该算法可能有的最高增长率。

 

② 大O表示法：如果某种算法的增长率上限（最差情况下）是f(n)，那么说这种算法“在O(f(n))中”。n为输入规模。

 

上限的精确定义：对非负函数T(n)，若存在两个正常数c和n0，对任意n>n0，有T(n)<cf(n)，则称T(n)在集合O(f(n))中。

——T(n)表示算法的实际运行时间；

——f(n)是上限函数的一个表达式。

 

我们总是试图给算法的时间代价找到一个最“紧”（即最小）的上限，因此一般说顺序搜索法在O（n）中，而不是等于，因为也可以说它在O（n²）中。可以理解为O为上限的集合？

 

几个例子：

①

sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

 sum+=n;

for循环执行，时间代价为O（n）。

 

②

sum=0;

for(i=1;i<=n;i++)

 for(j=1;j<=i;j++)

 sum+=n;

内层循环执行i次，外层执行n次，但是每一次内层循环的时间代价都因i的变化而不同。可以看到，第一次执行外层循环时i=1，第二次执行时i=2。每执行一次外层循环，i就以1的步长递增，直至最后一次i=n。因此，总的时间代价是从1累加到n，即 ，总运行时间为O（c₃n²+c₂n+c₁），可化简为O（n²）。

 

③ 双重循环如排序，时间代价也为O（n²），只不过运行时间为第二个程序的两倍。上例中c3为1/2。

 

④

sum=0;

       for (k=1;k<=n;k=k*2)    //Do log n times;

         for (j=1;j<=n;j++)       // Do n times;

         {

                sum++;

         }

 

内层循环执行次数恒为n。设外层循环执行次数为i，则循环结束时2^i-1=n，i为logn，所以总时间代价为nlogn。

 

 

⑤

     sum=0;

       for (k=1;k<=n;k=k*2)    //Do log n times;

         for (j=1;j<=k;j++)       // Do k times;

         {

                sum++;

         }

外层循环同上，依旧是logn次，但内层循环次数为k，每次都随着外层循环变量k值的变化而变化。设外层循环执行第i次，则k=2^i-1，即内层执行2^i-1次。外层执行一次内层执行2⁰次，外层执行两次内层2¹，一共执行2⁰+2¹次，以此类推总的执行次数为 ，最终可化简为O（n）。

 

 

 

关于大O法可参考：https://blog.csdn.net/yuhk231/article/details/60099774