89 k数和

给出[1,2,3,4]，k=2， target=5，[1,4] and [2,3]是2个符合要求的方案

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动态规划(DP)

思路：最开始参照了k数和Ⅱ用递归来做，结果只通过18%的数据就Time Limit Exceeded了。点开标签一看，要用动态规划……一口老血。

好吧，动态规划就动态规划。刚做过背包问题，背包问题中用背包容量作为动态数组一个维度，另一个维度是取0~i个物体，dp值是当前最大容量。而这道题，目标数字相当于背包容量，要作为一个维度，但与背包问题不同的是，这道题是从前 i 个中取出若干个（j），又多出一个维度，所以要用三维动态数组，dp值表示当前方案数，大爷的……

也就是说，dp【i】【j】【t】表示从前i个数中取出j个，这些数的和要等于t，有多少种方案。

状态转移方程：dp【i】【j】【k】=dp【i-1】【j】【t】+dp【i-1】【j-1】【t-A【i】】（当然前提是t>=A【i】）；

即

                    dp[i][j][t]=dp[i-1][j][t];
                    if (t>=A[i])//注意是大于等于;
                    {
                        dp[i][j][t]+=dp[i-1][j-1][t-A[i]];
                    }

意思就是，每个元素都有两种状态，取或者不取：

（1）若不取A[i]这个值，当前方案数等于从前i-1个数中取j个使其和为t的方案数，即dp[i - 1][j][t]。

（2）若取当前值A[i]，则当前方案数等于从前i-1个数中取j个使其和为t的方案数再加上考虑A[i]的情况，即dp[i - 1][j - 1][t - A[i]]（前提是t - A[i]要大于等于0）。

值得注意的是，如果j为0并且t也为0，则dp【i】【j】【t】=1，即是说从任意集合里拿出0个数使其和为0，这种情况只有一种方案，就是不取任何数。

AC代码：（注意代码实现的时候对i做了处理，dp中的i对应A中的i-1，即dp中是个数，A中是下标。或者也可以单独处理i=0的情况，即如果i==0，j==1，t==A【0】，dp【i】【j】【t】=1，这样可能麻烦一些）

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: An integer array
     * @param k: A positive integer (k <= length(A))
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    int kSum(vector<int> &A, int k, int target) {
        // write your code here
    int size=A.size();
    if (target<0)
    {
        return 0;
    }
    vector<vector<vector<int>>> dp(size+1,vector<vector<int>>(k+1,vector<int>(target+1,0)));
    

    for (int i=0;i<=size;i++)
    {
        for (int j=0;j<=k;j++)
        {
            for (int t=0;t<=target;t++)
            {
                if (j==0&&t==0)//前i个数中取0个和为0只有一种方案，就是不取任何数;
                {
                    dp[i][j][t]=1;
                }
                else if (!(i==0||j==0||t==0))
                {
                    dp[i][j][t]=dp[i-1][j][t];
                    if (t>=A[i-1])//注意是大于等于;
                    {
                        dp[i][j][t]+=dp[i-1][j-1][t-A[i-1]];
                    }
                }
            }
        }
    }
    return dp[size][k][target];
    
    }
};

空间优化（滚动数组）：

可以把dp数组最外层去掉，保留两个维度。

因为 D[i][j][t] += D[i - 1][j - 1][t - A[i - 1]]（t>=A[i-1]），这个表达式说明D[i][j][t]是把上一级 i 的结果累加过来，这里我们省去了 i 这一级，在D[j][t]这个二维表里就地累加。

可以参考背包问题，背包问题dp数组优化是当前行代替上一行。这里dp是三维数组，省去一维就是当前二维表代替上一个二维表。

同理，为避免覆盖问题，j和t索引要从后向前遍历。

简单粗暴点修改上面的代码，直接去掉一个dp维度即可，AC代码如下：

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: An integer array
     * @param k: A positive integer (k <= length(A))
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    int kSum(vector<int> &A, int k, int target) {
        // write your code here
    int size=A.size();
    if (target<0)
    {
        return 0;
    }
    vector<vector<int>> dp(k+1,vector<int>(target+1,0));
    dp[0][0]=1;
    for (int i=0;i<=size;i++)
    {
        for (int j=k;j>=0;j--)
        {
            for (int t=target;t>=0;t--)
            {
                if (!(i==0||j==0||t==0))
                {
                    if (t>=A[i-1])//注意是大于等于;
                    {
                        dp[j][t]+=dp[j-1][t-A[i-1]];
                    }
                }
            }
        }
    }
    return dp[k][target];
    
    }
};

代码还可以进一步优化：

int kSum2(vector<int> &A, int k, int target)
{
    int size=A.size();
    if (target<0)
    {
        return 0;
    }
    vector<vector<int>> dp(k+1,vector<int>(target+1,0));
    dp[0][0]=1;

    for (int i=1;i<=size;i++)//注意此处下标范围与下面A下标对应;
    {
        for (int j=k;j>0;j--)
        {
            for (int t=target;t>0;t--)
            {
                if (t>=A[i-1])//注意是大于等于;
                {
                    dp[j][t]+=dp[j-1][t-A[i-1]];
                }
            }
        }
    }
    return dp[k][target];
}

还有更简洁的版本：

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: an integer array.
     * @param k: a positive integer (k <= length(A))
     * @param target: a integer
     * @return an integer
     */
    int kSum(vector<int> A, int k, int target) {
        // wirte your code here  T(n, k, target) = O(n*k*target). area(n, k, target) = O(k*target)
        int n = A.size();
        int dp[k+1][target+1];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;
        for (int x = 0; x < n; x++)
            for (int y = k; y >= 1; y--)
                for (int z = target; z >= A[x]; z--)
                    dp[y][z] += dp[y-1][z-A[x]];
        return dp[k][target];
    }
};

优化成二维dp后，i的遍历可以从0~size-1，也可以从1~size，并不影响结果，就是要注意与A下标对应，前者是A【i】，后者是A【i-1】。因为最初始的那张表是dp【0】【0】=1，其他位置都为0。循环开始后，数组A中每个元素都对应一个二维表，计算过程就是用当前二维表不断代替上一状态的二维表。

PS：dp数组优化前，j和t是从前向后遍历还是从后向前遍历都不影响其结果，因为计算当前i是参照i-1时的数据。

一道题做了好久……各种细节出错，不参照答案写不出来，多维动态数组对我而言还是有一定难度的，哭……

参考：

lintcode: k Sum 解题报告讲解详细，启发意义很大

LintCode-k数和讲解清晰，代码简洁

LintCode -- k数和代码很简洁

标记下我最开始的递归代码：

class Solution {
public:
    /**
     * @param A: An integer array
     * @param k: A positive integer (k <= length(A))
     * @param target: An integer
     * @return: An integer
     */
    int kSum(vector<int> &A, int k, int target) {
        // write your code here
    int result=0;
    if (A.empty())
    {
        return result;
    }
    ksum(A,k,target,0,0,0,result);
    return result;
    }
    
    void ksum(vector<int> &A, int k, int target,int sum,int ind,int size,int &result)
{
    if (size==k)
    {
        if (sum==target)
        {
            result++;
        }
        return ;
    }
    if (ind>=A.size())
    {
        return ;
    }
    ksum(A,k,target,sum+A[ind],ind+1,size+1,result);
    ksum(A,k,target,sum,ind+1,size,result);
}
    
};

描述

样例