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5、区间修改（即修改一段连续区间的值，给区间[a,b]的每个数都加x）
一、基本概念
1、线段树是一棵二叉搜索树，它储存的是一个区间的信息。
2、每个节点以结构体的方式存储，结构体包含以下几个信息：
区间左端点、右端点；（这两者必有）
这个区间要维护的信息（事实际情况而定，数目不等）。
3、线段树的基本思想：二分。
4、线段树一般结构如图所示：
5、特殊性质：
由上图可得，
1、每个节点的左孩子区间范围为[l，mid]，右孩子为[mid+1,r]
2、对于结点k，左孩子结点为2*k，右孩子为2*k+1，这符合完全二叉树的性质
二、线段树的基础操作
注：以下基础操作均以引例中的求和为例，结构体以此为例：
1 struct node 2 { 3 int l,r,w; //l，r分别表示区间左右端点，w表示区间和 4 }tree[4*n+1];
树记得开4倍空间。
线段树的基础操作主要有5个：建树、单点查询、单点修改、区间查询、区间修改。
1、建树
【主体思路】
a、对于二分到的每一个结点，给它的左右端点确定范围。
b、如果是叶子节点，存储要维护的信息。
c、状态合并。
【代码】
1 void build(int l,int r,int k) 2 { 3 tree[k].l=l;tree[k].r=r; 4 if(l==r)//叶子节点 5 { 6 scanf("%d",&tree[k].w); 7 return ; 8 } 9 int m=(l+r)/2; 10 build(l,m,k*2);//左孩子 11 build(m+1,r,k*2+1);//右孩子 12 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//状态合并，此结点的w=两个孩子的w之和 13 }
2、单点查询（即查询一个点的状态，设待查询点为x）
【主体思路】
与二分查询法基本一致，如果当前枚举的点左右端点相等，即叶子节点，就是目标节点。如果不是，因为这是二分法,所以设查询位置为x，当前结点区间范围为了l，r，中点为mid，则如果x<=mid，则递归它的左孩子，否则递归它的右孩子。
【代码】
1 void ask(int k) 2 { 3 if(tree[k].l==tree[k].r) //当前结点的左右端点相等，是叶子节点，是最终答案 4 { 5 ans=tree[k].w; 6 return ; 7 } 8 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 9 if(x<=m) ask(k*2);//目标位置比中点靠左，就递归左孩子 10 else ask(k*2+1);//反之，递归右孩子 11 }
3、单点修改（即更改某一个点的状态，对第x个数加上y）
【主体思路】
结合单点查询的原理，找到x的位置；根据建树状态合并的原理，修改每个结点的状态。
【代码】
1 void add(int k) 2 { 3 if(tree[k].l==tree[k].r)//找到目标位置 4 { 5 tree[k].w+=y; 6 return; 7 } 8 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 9 if(x<=m) add(k*2); 10 else add(k*2+1); 11 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//所有包含结点k的结点状态更新 12 }
4、区间查询（即查询一段区间的状态）
【主体思路】
mid=(l+r)/2
y<=mid ,即 查询区间全在，当前区间的左子区间，往左孩子走
x>mid 即 查询区间全在，当前区间的右子区间，往右孩子走
否则，两个子区间都走
【代码】
1 void sum(int k) 2 { 3 if(tree[k].l>=x&&tree[k].r<=y) 4 { 5 ans+=tree[k].w; 6 return; 7 } 8 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 9 if(x<=m) sum(k*2); 10 if(y>m) sum(k*2+1); 11 }
5、区间修改（即修改一段连续区间的值，给区间[a,b]的每个数都加x）
【主体思路】
为了实现这个，引入一个新的状态——懒标记。
1、直观理解：“懒”标记，懒嘛！用到它才动，不用它就睡觉。
2、作用：存储到这个节点的修改信息，暂时不把修改信息传到子节点。就像家长扣零花钱，你用的时候才给你，不用不给你。
3、实现思路（重点）：
a.原结构体中增加新的变量，存储这个懒标记。
b.递归到这个节点时，只更新这个节点的状态，并把当前的更改值累积到标记中。注意是累积，可以这样理解：过年，很多个亲戚都给你压岁钱，但你暂时不用，所以都被你父母扣下了。
c.什么时候才用到这个懒标记？当需要递归这个节点的子节点时，标记下传给子节点。这里不必管用哪个子节点，两个都传下去。就像你如果还有妹妹，父母给你们零花钱时总不能偏心吧
d.下传操作：
①当前节点的懒标记累积到子节点的懒标记中。
②修改子节点状态。在引例中，就是原状态+子节点区间点的个数*父节点传下来的懒标记。
这就有疑问了，既然父节点都把标记传下来了，为什么还要乘父节点的懒标记，乘自己的不行吗？
因为自己的标记可能是父节点多次传下来的累积，每次都乘自己的懒标记造成重复累积
③父节点懒标记清0。这个懒标记已经传下去了，不清0后面再用这个懒标记时会重复下传。就像你父母给了你5元钱，你不能说因为前几次给了你10元钱, 所以这次给了你15元，那你不就亏大了。
懒标记下传代码：f为懒标记，其余变量与前面含义一致。
【代码】
懒标记下传：
1 void down(int k) 2 { 3 tree[k*2].f+=tree[k].f; 4 tree[k*2+1].f+=tree[k].f; 5 tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); 6 tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); 7 tree[k].f=0; 8 }
区间修改：
1 void add(int k) 2 { 3 if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b)//当前区间全部对要修改的区间有用 4 { 5 tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*x;//(r-1)+1区间点的总数 6 tree[k].f+=x; 7 return; 8 } 9 if(tree[k].f) down(k);//懒标记下传。只有不满足上面的if条件才执行，所以一定会用到当前节点的子节点 10 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 11 if(a<=m) add(k*2); 12 if(b>m) add(k*2+1); 13 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w;//更改区间状态 14 }
6、总结
加入懒标记后5种操作的总结。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 int n,p,a,b,m,x,y,ans; 4 struct node 5 { 6 int l,r,w,f; 7 }tree[400001]; 8 inline void build(int k,int ll,int rr)//建树 9 { 10 tree[k].l=ll,tree[k].r=rr; 11 if(tree[k].l==tree[k].r) 12 { 13 scanf("%d",&tree[k].w); 14 return; 15 } 16 int m=(ll+rr)/2; 17 build(k*2,ll,m); 18 build(k*2+1,m+1,rr); 19 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 20 } 21 inline void down(int k)//标记下传 22 { 23 tree[k*2].f+=tree[k].f; 24 tree[k*2+1].f+=tree[k].f; 25 tree[k*2].w+=tree[k].f*(tree[k*2].r-tree[k*2].l+1); 26 tree[k*2+1].w+=tree[k].f*(tree[k*2+1].r-tree[k*2+1].l+1); 27 tree[k].f=0; 28 } 29 inline void ask_point(int k)//单点查询 30 { 31 if(tree[k].l==tree[k].r) 32 { 33 ans=tree[k].w; 34 return ; 35 } 36 if(tree[k].f) down(k); 37 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 38 if(x<=m) ask_point(k*2); 39 else ask_point(k*2+1); 40 } 41 inline void change_point(int k)//单点修改 42 { 43 if(tree[k].l==tree[k].r) 44 { 45 tree[k].w+=y; 46 return; 47 } 48 if(tree[k].f) down(k); 49 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 50 if(x<=m) change_point(k*2); 51 else change_point(k*2+1); 52 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 53 } 54 inline void ask_interval(int k)//区间查询 55 { 56 if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) 57 { 58 ans+=tree[k].w; 59 return; 60 } 61 if(tree[k].f) down(k); 62 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 63 if(a<=m) ask_interval(k*2); 64 if(b>m) ask_interval(k*2+1); 65 } 66 inline void change_interval(int k)//区间修改 67 { 68 if(tree[k].l>=a&&tree[k].r<=b) 69 { 70 tree[k].w+=(tree[k].r-tree[k].l+1)*y; 71 tree[k].f+=y; 72 return; 73 } 74 if(tree[k].f) down(k); 75 int m=(tree[k].l+tree[k].r)/2; 76 if(a<=m) change_interval(k*2); 77 if(b>m) change_interval(k*2+1); 78 tree[k].w=tree[k*2].w+tree[k*2+1].w; 79 } 80 int main() 81 { 82 scanf("%d",&n);//n个节点 83 build(1,1,n);//建树 84 scanf("%d",&m);//m种操作 85 for(int i=1;i<=m;i++) 86 { 87 scanf("%d",&p); 88 ans=0; 89 if(p==1) 90 { 91 scanf("%d",&x); 92 ask_point(1);//单点查询,输出第x个数 93 printf("%d",ans); 94 } 95 else if(p==2) 96 { 97 scanf("%d%d",&x,&y); 98 change_point(1);//单点修改 99 } 100 else if(p==3) 101 { 102 scanf("%d%d",&a,&b);//区间查询 103 ask_interval(1); 104 printf("%d ",ans); 105 } 106 else 107 { 108 scanf("%d%d%d",&a,&b,&y);//区间修改 109 change_interval(1); 110 } 111 } 112 }
十分感谢这篇博客的作者：xxy http://www.cnblogs.com/TheRoadToTheGold/
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