HDU 1018(阶乘位数 数学)

题意是求 n 的阶乘的位数。

直接求 n 的阶乘再求其位数是不行的，开始时思路很扯淡，想直接用一个数组存每个数阶乘的位数，用变量 tmp 去存 n 与 n - 1 的阶乘的最高位的数的乘积，那么 n 的阶乘的位数就等于 n - 1 的阶乘的位数加 tmp 的位数再减去 1。

 但这种做法是不对的，例如有可能最高位与 n 的乘积结果是 99，而其实 n 与其他位的乘积结果是能进到这一位的，也就是说实际应该在 n - 1 的阶乘位数上增加 2 ( 3 -1 ) 位。而在对样例测试时也发现 n 为 10 的时候结果尚正确，但当 n 为 20 的时候就比正确结果少了 1，也就是说发生了上述情况。

抱着侥幸心理，又再次将每次乘以最高位的做法调整成了每次乘以最高的两位，这一次当 n 为 20 时结果依然正确，但是内存超了......

错误代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int tmp,dig[10000009];
int getdigit(int n)
{
    int a(0);
    while(n)
    {
        n/=10;
        a++;
    }
    return a;
}
void make()
{
    int digit;
    dig[1] = 1;
    dig[2] = 1;
    dig[3] = 1;
    dig[4] = 2;
    tmp = 24;
    for(int i = 5; i <= 10000000; i++)
    {
        tmp *= i;
        digit = getdigit(tmp);
        dig[i] = digit + dig[i-1] - 2;
        for(int j = 2; j < digit; j++) tmp/=10;
    }
}
int main()
{
    int t,ans,n;
    scanf("%d",&t);
    make();
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%d
",dig[n]);
    }
    return 0;
}

在借鉴了其他人的做法后，才觉得对这道题有了一点正确的思路：

首先，一个数 x 的位数可以用以 10 为底取对数再向上取整的方法求得，即 digit( x ) = ceil ( log10( x ) )；

那么，阶乘的位数可以直接求：digit( n! ) = ∑ log10( i ) （ i 从 1 取到 n ） 

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int t,n;
    double ans;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ans = 0;
        scanf("%d",&n);
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            ans += log10(i);
        }
        printf("%d
",(int)ans+1);
    }
    return 0;
}

另外，在求 n 的阶乘的时候用 Stirling 公式 也是很好的做法，

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi = acos(-1);
int main()
{
    int t,n,ans;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ans = ceil((log(n)*n - n + 0.5*log(2*pi*n) )/ log(10));
        printf("%d
",ans);
    }
    return 0;
}