NOIP2009 最优贸易

不算很难的题,但是有很多细节,也有多种解法.

洛谷P1073 最优贸易

思路1 Tarjan缩点+动态规划

很明显,一个强连通分量中,可以自由来往,买入与卖出商品.在不同的强连通分量中,只有当(i)拓扑序严格小于(j)时,才能在(j)卖掉在(i)买入的物品,基于此,我们可以在缩点之后的 DAG 图上 DP .设(DP[i])表示从(1...i)能购买到的价格最低的商品,(Max[i])表示在(i)点所在的强连通分量内能卖出的最高价,每到一个点就转移(DP[]),并且用(Max[i]-DP[i])更新答案.

需要注意的是,题目要求从 1 走到 n ,所以要仅从 1 开始跑一次 Tarjan,以去掉 1 出发到达不了的点.同时还要**在反图中从 n 开始跑一次 DFS **标记出哪些点可以走到 n .否则会造成答案的错误.在经过了上面的处理后,原图中不是每一条边都能加入缩点后的图,可能某些点已经被去掉了,因此在重新建图的时候要特判是否加入该边.

#include<bits/stdc++.h>
const int N_MAX=100005,M_MAX=1000005,INF=0x3F3F3F3F;
int n,m,head[N_MAX],nex[M_MAX],to[M_MAX],Tot;
int P[N_MAX],DFN[N_MAX],Low[N_MAX],Sta[N_MAX],Top;

struct Graph
{
	int head[N_MAX],nex[M_MAX],to[M_MAX],Tot;
	void Link(int u,int v){nex[++Tot]=head[u];head[u]=Tot;to[Tot]=v;}
}G1,G2,G2_v;

int Cnt,B[N_MAX],Max[N_MAX],Min[N_MAX],Tim;
bool InSta[N_MAX],mk[M_MAX],Vis[N_MAX];
void Tarjan(int u)
{
	DFN[u]=Low[u]=++Tim;
	Sta[++Top]=u;
	InSta[u]=1;
	for(int i=G1.head[u];i;i=G1.nex[i])
	{
		int v=G1.to[i];
		mk[i]=1;
		if(!DFN[v])
		{
			Tarjan(v);
			Low[u]=std::min(Low[u],Low[v]);
		}
		else 
			if(InSta[v])
				Low[u]=std::min(Low[u],DFN[v]);
	}
	if(DFN[u]==Low[u])
	{
		++Cnt;
		Max[Cnt]=-INF;
		Min[Cnt]=INF;
		do
		{
			InSta[Sta[Top]]=0;
			B[Sta[Top]]=Cnt;
			Max[Cnt]=std::max(Max[Cnt],P[Sta[Top]]);
			Min[Cnt]=std::min(Min[Cnt],P[Sta[Top]]);
		}while(Sta[Top--]!=u);
	}
}

void DFS(int u)
{
	if(Vis[u])return;
	Vis[u]=1;
	for(int i=G2_v.head[u];i;i=G2_v.nex[i])
	{
		int v=G2_v.to[i];
		DFS(v);
	}
}

std::queue<int>q;
int dp_Min[N_MAX],InD[N_MAX],Ans;
void Topo()
{
	for(int i=1;i<=Cnt;i++)
	{
		dp_Min[i]=Min[i];
		if(InD[i]==0)
		{
			q.push(i);
			Ans=std::max(Ans,Max[i]-Min[i]);
		}
	}
	while(q.size())
	{
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(int i=G2.head[u];i;i=G2.nex[i])
		{
			int v=G2.to[i];
			dp_Min[v]=std::min(dp_Min[u],dp_Min[v]);
			--InD[v];
			if(InD[v]==0)
			{
				if(Vis[v])Ans=std::max(Ans,Max[v]-dp_Min[v]);
				q.push(v);
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&P[i]);
	int u,v,e;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&e);
		if(e==1)
			G1.Link(u,v);
		else
		{
			G1.Link(u,v);
			G1.Link(v,u);
		}
	}
	Tarjan(1);
	for(int k=1;k<=n;k++)
	{
		if(B[k]==0)continue;
		for(int i=G1.head[k];i;i=G1.nex[i])
		{
			int v=G1.to[i];
			if(B[v]==0)continue;
			if(B[k]!=B[v]&&mk[i])
			{
				G2.Link(B[k],B[v]);
				G2_v.Link(B[v],B[k]);
				InD[B[v]]++;
			}		
		}
	}
	DFS(B[n]);
	Topo();
	printf("%d",Ans);
	return 0;
}

思路2 分层图+最短路

题目的整个过程可以分为 3 层:

• 买入前
• 买入后,卖出前
• 卖出后

我们可以建立分层图,同层内部边权为 0 ,第一层到第二层的相同点之间连边,边权为该点商品价格的相反数,即"买入的花费".第二层到第三层的相同点之间连边,边权为该点商品价格,即"卖出的收益".从第一层的 1 点到第三层的 n 点跑一次最短路即可.

思路(3...infin) 其他算法

比如题解中的记忆化搜索等.