数学(动态规划，GCD)：COGS 469. [NOI2010]能量采集

能量采集

★★☆   输入文件：energy2010.in   输出文件：energy2010.out   简单对比
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【问题描述】

　　栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。

栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。

由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。

能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能 量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。

下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。

 

　　在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

 

 

【输入格式】

　　仅包含一行，为两个整数n和m。

【输出格式】

　　仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

【样例输入1】

　　5 4

【样例输出1】

　　36

【样例输入2】

　　3 4

【样例输出2】

　　20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

　　

　　这道题要求sigma 2×（GCD（i，j）-1）+1(0<i<=n,0<j<=m)

　　换个计数方式，我们记录GCD（a,b）为i的（a，b）有多少对，一个简单的DP就解决了～～～

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=100010;
long long f[maxn];
long long ans;
int main(){
    freopen("energy2010.in","r",stdin);
    freopen("energy2010.out","w",stdout);
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m)swap(n,m);
    for(int i=n;i>=1;i--){
        f[i]=1ll*(m/i)*(n/i);    
        for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
            f[i]-=f[j];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans+=f[i]*(2*(i)-1);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}