数学（快速数论变换）：SDOI2015 序列统计

【题目描述】

小C有一个集合S，里面的元素都是小于M的非负整数。他用程序编写了一个数列生成器，可以生成一个长度为N的数列，数列中的每个数都属于集合S。

小C用这个生成器生成了许多这样的数列。但是小C有一个问题需要你的帮助：给定整数x，求所有可以生成出的，且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个。小C认为，两个数列{Ai}和{Bi}不同，当且仅当至少存在一个整数i，满足Ai≠Bi。另外，小C认为这个问题 的答案可能很大，因此他只需要你帮助他求出答案mod 1004535809的值就可以了。

【输入格式】

一行，四个整数，N、M、x、|S|，其中|S|为集合S中元素个数。

第二行，|S|个整数，表示集合S中的所有元素。

【输出格式】

一行，一个整数，表示你求出的权值和mod 1004535809的值。

【样例输入】

4 3 1 2

1 2

【样例输出】

8

【提示】

对于10%的数据，1<=N<=1000；

对于30%的数据，3<=M<=100；

对于60%的数据，3<=M<=800；

对于全部的数据，1<=N<=10^9，3<=M<=8000，M为质数，0<=x<=M-1，输入数据保证集合S中元素不重复。

　　竟然没有x=0的数据。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N=32768,G=3;
const int MOD=1004535809;
int g,n,m,x,s,pos[N],num[N];
int Qpow(int x,int k,int mod){
    long long ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=1ll*ret*x%mod;
        x=1ll*x*x%mod;k>>=1;
    }
    return ret;
}

void Rader(int *a,int len){
    for(int i=1,j=len>>1;i<len-1;i++){
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
        int k=len>>1;
        while(j>=k){
            j-=k;
            k>>=1;
        }
        j+=k;
    }
}

void NTT(int *a,int len,int on){
    Rader(a,len);
    for(int h=2,wn;h<=len;h<<=1){
        if(on==1)wn=Qpow(G,(MOD-1)/h,MOD);
        else wn=Qpow(G,MOD-1-(MOD-1)/h,MOD);
        for(int j=0;j<len;j+=h){
            int w=1,x,y;
            for(int k=j;k<j+(h>>1);k++){
                x=a[k];y=1ll*a[k+(h>>1)]*w%MOD;
                a[k]=(x+y)%MOD;a[k+(h>>1)]=(x-y+MOD)%MOD;
                w=1ll*w*wn%MOD;
            }
        }
    }
    if(on==-1){
        int inv=Qpow(len,MOD-2,MOD);
        for(int i=0;i<len;i++)
            a[i]=1ll*a[i]*inv%MOD;
    }    
}

int f[N],r[N],l=N/2;
void Solve(){
    for(int i=0;i<N;i++)
        r[i]=f[i];n-=1;
    while(n){
        NTT(f,N,1);
        if(n&1){
            NTT(r,N,1);
            for(int i=0;i<N;i++)r[i]=1ll*r[i]*f[i]%MOD;
            NTT(r,N,-1);
            for(int i=m-1;i<N;i++)(r[i%(m-1)]+=r[i])%=MOD,r[i]=0;
        }
        for(int i=0;i<N;i++)f[i]=1ll*f[i]*f[i]%MOD;
        NTT(f,N,-1);
        for(int i=m-1;i<N;i++)(f[i%(m-1)]+=f[i])%=MOD,f[i]=0;
        n>>=1;
    }
    printf("%d
",r[pos[x]]);
}

void Solve_Zero(){int cnt=0,ans;
    for(int i=1;i<=s;i++)if(!num[i])cnt++;
    ans=Qpow(s,n,MOD)-Qpow(s-cnt,n,MOD);
    printf("%d
",ans);
}
int main(){
    freopen("sdoi2015_sequence.in","r",stdin);
    freopen("sdoi2015_sequence.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&s);
    for(int i=1;i<=s;i++)
        scanf("%d",&num[i]);
    if(!x)Solve_Zero();
    for(g=1;g<m;g++){int i;
        for(i=1;i<m-1;i++)
            if(Qpow(g,i,m)==1)
                break;
        if(i==m-1&&Qpow(g,m-1,m)==1)break;        
    }
    for(int i=1;i<m;i++)
        pos[Qpow(g,i,m)]=i%(m-1);
    for(int i=1;i<=s;i++)
        if(num[i])f[pos[num[i]]]++;
    Solve();
    return 0;
}