LeetCode:Longest Valid Parentheses

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Given a string containing just the characters '(' and ')', find the length of the longest valid (well-formed) parentheses substring.

For "(()", the longest valid parentheses substring is "()", which has length = 2.

Another example is ")()())", where the longest valid parentheses substring is "()()", which has length = 4.

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算法1

这道题首先想到的是动态规划, 字符串为s，设bool数组dp[i][j]表示子串s[i…j]是否可以完全匹配，那么动态规划方程如下:

• 初始化dp数组为false
• 如果dp[i+1][j-1] == true && s[i] == ‘(’&&s[j] == ‘)’或者 存在k = i+1…j-1 使得dp[i][k] == true && dp[k+1][j] = true ，则dp[i][j] = true

方程的意思是：要使子串s[i…j]能够完全匹配，那么有以下两种情况可以满足：a、子串s[i+1…j-1]完全匹配，且s[i]、s[j]是左右两个半括号；b、存在某个k，使得两个子串s[i…k]、s[k+1…j]都能完全匹配.

求得所有dp[i][j]后，最长匹配子串的长度 = max {j-i}, 其中 dp[i][j] = true;

下面代码中isValid相当于方程中的dp，注意到子串长度为奇数时，子串可能完全匹配。概算大时间复杂度为O（n^3），oj上大数据超时

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        const int len = s.size();
        bool isValid[len][len];
        memset(isValid, 0, sizeof(isValid));
        int res = 0;
        for(int i = 0; i < len-1; i++)
            if(s[i] == '(' && s[i+1] == ')')
            {
                isValid[i][i+1] = true;
                res = 2;
            }
        for(int k = 4; k <= len; k+=2)//k表示子串长度，只有长度为偶数的子串才可能是合法括号
            for(int i = 0; i <= len-k; i++)//i表示子串的起始位置
            {
                if(isValid[i+1][i+k-2] && s[i] == '(' && s[i+k-1] == ')')
                    isValid[i][i+k-1] = true;
                else
                {
                    for(int j = i+1; j <= i+k-3; j++)
                        if(isValid[i][j] && isValid[j+1][i+k-1])
                            isValid[i][i+k-1] = true;
                }
                if(isValid[i][i+k-1])res = k;
            }
        return res;
    }
};

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算法2

在处理括号匹配问题上，我们一般使用栈来解决。这一题也可以。

顺序扫描字符串：

初始化：在栈中压入-1

一、若碰到‘（’，则把当前位置压入栈中

二、若碰到‘）’：

     （1）、如果栈顶元素不是‘（’，则把当前位置压入栈中；

     （2）、如果栈顶元素时‘（’：栈顶元素出栈，当前的合法子串长度 = 当前字符索引 - 新的栈顶元素；更新最大子串长度

例如以下字符串

扫描到第0个字符‘（’时，0入栈

扫描到第1个字符‘）’时，栈顶对应字符为‘（’，把栈顶0出栈，当前合法子串长度 = 1 - 新的栈顶元素（-1） = 2；

扫描到第2个字符‘）’时，栈顶为-1，因此2入栈

扫描到第3个字符‘（’时，3入栈

扫描到第4个字符‘）’时，栈顶对应字符为‘（’，把栈顶3出栈，当前合法子串长度 = 4 - 新的栈顶元素（2） = 2；                                 本文地址

扫描到第5个字符‘（’时，5入栈

扫描到第6个字符‘）’时，栈顶对应字符为‘（’，把栈顶5出栈，当前合法子串长度 = 6 - 新的栈顶元素（2） = 4；

需要注意的是：当前合法子串当长度 != 当前索引 - 与当前的‘）’匹配的‘（’的索引 + 1, 例如扫描到第6个字符‘）’时，当前合法子串长度不是等于6-5+1 = 2，还要考虑到它前面已经匹配的3、4号位

算法时间空间复杂度都是O（n）

class Solution {
public:
    int longestValidParentheses(string s) {
        const int len = s.size();
        stack<int> sta;
        int res = 0;
        sta.push(-1);//为了处理边界条件，在栈底添加-1
        for(int i = 0; i < len; i++)
        {
            if(s[i] == '(')
                sta.push(i);
            else
            {
                int topIndex = sta.top();
                if(topIndex >= 0 && s[topIndex] == '(')//s[i]可以和s[a]匹配
                {
                    sta.pop();
                    if(res < i - sta.top())res = i - sta.top();
                }
                else sta.push(i);
            }
        }
        return res;
    }
};

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