\(a\) 的平均数为 \(m\) 等价于 \(\sum a_i-m=0\)。可以配合其他算法处理一些平均数的最优解问题。
例：问平均数处于 \([p,q)\) 的区间数。
相当于需要处理平均数小于 \(p\) 的数量然后减一下即可。\(b_i=a_i-p\)，然后做前缀和 \(s_i=\sum_{j=1}^{i} b_i\)，相当于求有多少 \(i<j\) 且 s_i>s_j$，是经典逆序对。
例：序列切成 \(k\) 段，最大化平均数的最小值。
Binary Search 然后转化为 \(s_i=\sum_{j=1}^{i}a_i-p\) 的一个上升子序列问题。
一些序列操作的结论
对于连续三个数，中间取反，两边的加上这个数。
\(A\) 可以到达 \(B\) 当且仅当两者的前缀和集合相同
相邻数一个加一一个减一
\(A\) 可以到达 \(B\) 当且仅当和相等。
处理组合数可以想一下能否用生成函数得到简单的解。
CF1548C 求所有 \(f_x=\sum_{i=1}^{n}\binom{3i}{x}\)。
直接手动乘除即可。
如果感觉一些东西存在两种复杂度的解，可以尝试根号分治
\(\sum a=n\)，则最多有 \(\sqrt n\) 种不同的 \(a\)。
二进制相关的问题，考虑一些变化是不是发生的不多。
例 一个数不断 and 或者 or 上很多数，最多变化 \(O(\log n)\) 次。
树上有关距离的计数问题，可以考虑跨过的点，或者考虑中点
Pick 定理：对于任意整点多边形，\(S=\frac{边界格点数}{2}+内部格点数-1\)
请多考虑差分和前缀和。
图上的构造问题多看看生成树。
考虑两个东西配对起来产生的影响。比如逆序对。
例：对于 \(1\) 到 \(n\) 的所有排列 \(P\)，求 \(\sum_{P} \tau(P)\)。
对于排列 \(p_1,p_2,\dots,p_n\) 和其反排列 \(p_n,p_{n-1},\dots,p_1\)，其逆序对数之和为 \(\binom{n}{2}\)，所以和为 \(\frac{n!n(n-1)}{4}\)。
包含树上 \(m\) 个点的最小连通块边权和为按 dfs 序排序后 \(\frac{1}{2}\sum d(u_i,u_{i-1})\)（首尾相接）
例：CF176E 裸的上述结论题
例：CF372D 定义树上一个连通子图的权值为最长的区间[l,r]的长度，满足标号在[l,r]之间的结点均在这个连通子图中。现在请你求出树上所有的结点数量不超过kk的 连通子图的权值最大值。
Binary serach，由于上述结论，可以动态维护定长区间的最小连通块大小。
数据结构的东西，考虑一下操作的特殊性，看能不能有均摊复杂度，省掉一些不必要的麻烦。
https://codeforces.com/problemset/problem/875/E
线段树维护 DP 的时候，发现每次最多让一个点变成 1，于是乎区间清零的时候暴力下放剪枝即可。