关系数据库设计

码和函数依赖：

令r(R)是一个关系模式。R的子集K是r(R)的超码的条件是：在r(R)中的合法实例中，对于r的实例中的所有元组t₁, t₂总满足：若t₁≠t₂则，t₁[K]≠t₂[K]。也就是说，在关系r(R)中没有两条元组在属性集K上可能具有相同的值。

考虑关系模式r(R)，令a是R的子集，且b是R的子集。

给定r(R)的一个实例，称这个实例满足函数依赖a→b的条件是：对实例中所有元组t₁和t₂，若t₁[a]=t₂[a]，则t₁[b]=t₂[b]。

如果在r(R)的每个合法实例中都满足函数依赖a→b，则称函数依赖a→b在关系模式r(R)上是成立的。

有些函数依赖称为平凡的，因为它们在所有关系中都满足。一般地，如果b是a的子集，则形如a→b的函数依赖是平凡的。

函数依赖理论：

给定关系模式r(R)上的函数依赖集F，如果r(R)的每一个满足F的实例也满足 f ，则R上的函数依赖 f 被 r 上的函数依赖集F逻辑蕴含。

Armstrong公理：

1. 自反律，若a为一属性集且b是a的子集，则a→b成立。
2. 增补律，若a→b成立且c为一属性集，则ac→bc成立。
3. 传递律，若a→b和b→c成立，则a→c成立。

简化Armstrong公理：

1. 合并律，若a→b和a→c成立，则a→bc成立。
2. 分解律，若a→bc成立，则a→b和a→c成立。
3. 伪传递律，若a→b成立和bc→d成立，则ac→d成立。

 F的闭包是被F逻辑蕴含的所有函数依赖的集合，记作F⁺。

F的闭包F⁺:

给定一个关系R的函数依赖集F，则F的闭包F⁺的算法过程如下：

F+=F
repeat
　　for each F+中的函数依赖 f
　　　　在f上应用增补律和自反律
　　　　将结果放到F+中
　　for each F+中的一对函数依赖f1和f2
　　　　如果f1和f2能用传递律结合起来
　　　　则将结果放到F+中
until F+不再发生变化

属性a的闭包a⁺：

如果a→b，则称b为属性a函数确定。

令a为一个属性集。则将函数依赖集F下被a函数确定的所有属性的集合称为F下a的闭包，记作a⁺。计算F下a的闭包a⁺的算法过程如下：

result=a
repeat
　　for each 函数依赖 b→c in F do
　　　　begin
　　　　　　if b 属于result then result=result∪c
　　　　end
until(result不变）

如何获取R的所有候选码？

对于一个关系R，对其属性集合进行任意组合，然后依次计算这些属性组合的闭包。如果某个属性组合的闭包包含所有属性，那么这个属性组合就是候选码。

属性闭包算法的多种用途：

1. 为了判断a是否为超码，我们计算a⁺，检查a⁺是否包含R中的所有属性。
2. 通过检查b是否的a⁺的子集，可以检查出函数依赖a→b是否成立。
3. 另一种计算F的闭包F⁺的方法：对任意的a，a是R的子集，可以找出闭包a⁺，对任意的b，b是a⁺的子集，可以输出一个函数依赖a→b。

如果去除函数依赖中的一个属性不改变该函数依赖集的闭包，则称该属性是无关的。

无关属性的形式化定义如下：考虑函数依赖集F及F中的函数依赖a→b，

• 如果A是a的一个元素并且F逻辑蕴含（F - {a→b}）∪{（a-A）→b}，则属性A在a中是无关的。
• 如果A是b的一个元素并且函数依赖集（F-{a→b}）∪{a→（b-A）}逻辑蕴含F，则属性A在b中是无关的。

无损分解：将关系模式R分解为R₁和R₂，如果R₁∩R₂是R₁或R₂的超码，则R上的分解就是无损的。

Boyce-Codd范式：

具有函数依赖集F的关系模式R属于BCNF的条件是，对F⁺中的所有形如a→b的函数依赖（其中a是R的子集，并且b是R的子集），下面至少有一项成立：

1. a→b是平凡的函数依赖（即，b是a的子集）
2. a是模式R的一个超码

一个数据库设计属于BCNF的条件是，构成该设计的关系模式集中的每个模式都属于BCNF。

设R为不属于BCNF的一个模式。则存在至少一个非平凡的函数依赖a→b，其中a不是R的超码。则需要在设计中用以下两个模式取代R：

• a∪b
• R - ( b - a ) 

判定方法（避免计算F⁺是因为F⁺一般都很大）：

在某些情况下，判定一个关系是否属于BCNF可简化成：

• 为了检查非平凡的函数依赖a→b是否违反BCNF，计算a⁺，并且验证它是否包含R中所有属性，即验证它是否是R的超码。
• 检查关系模式R是否属于BCNF，仅需检查给定集合F中的函数依赖是否违反了BCNF就足够了，不用检查F+中的所有函数依赖。

需要注意的是，如果一个关系没有被分解，那么我们可以证明如果F中没有函数依赖违反BCNF，那么F⁺中也不会有函数依赖违反BCNF。但是当一个关系分解后，这个结论将不再成立。

所以为了检查R分解后的关系Ri是否属于BCNF，可以用如下判定：

• 对于R_i中属性的每个子集a，确保a⁺要么不包含R_i-a的任何属性，要么包含R_i的所有属性。

如果R_i上有某个属性集a违反了该条件，考虑如下的函数依赖，可以证明它出现在F⁺中：

 　　　　　　　　a→（a⁺-a）∩R_i

分解方法：

给出一个关系模式R，若R不属于BCNF，则可用下面的算法将R分解成一组BCNF模式R₁，R₂，...，R_n：

result:={R};
done:=false;
计算F+；
while (not done) do
if(result中存在模式Ri不属于BCNF)
then begin
    令 a→b 为一个在Ri上成立的非平凡函数依赖，满足 a→Ri 不属于F+，并且a∩b=Ø；
    result:=(result-Ri)∪(Ri-b)∪(a,b)
end
else
done:=true;

下面给出一个例子：

给定关系模式class(class_id, title, dept_name, creadits, sec_id, semester, year, building, room_number, capacity, time_slot_id)

给出函数依赖(a→a⁺的形式）：

course_id→title, dept_name, credits

building, room_number→capacity

course_id, sec_id, semester, year→building, room, time_slot_id

易知，该模式的候选码为{course_id, sec_id, semester, year}。

• 分解class：

函数依赖course_id→title, dept_name, credits成立，但course_id不是超码。因此class不属于BCNF。所以将class替换成：

course(course_id, title, dept_name, credits)

course-1(course_id, sec_id, semester, year, building, room_number, capacity, time_slot_id)

course上唯一成立的非平凡函数依赖：course_id→title, dept_name, credits，因为course_id是course的超码，所以course属于BCNF。

• 分解class-1

函数依赖building, room_number→capacity在class上成立，但{building, room_number}不是class-1的超码，所以将class-1替换成：

classroom(building, room_number, capacity)

section(course_id, sec_id, semester, year, building, room_number, time_slot_id)

显而易见，classroom和section属于BCNF

需要注意的一点是，如果一个关系已经被分离过了，那么在原有的函数依赖集合F中找不到使该关系不满足BCNF的函数依赖并不意味着这个关系就是函数依赖，而应该遍历函数依赖集合的闭包F+，来寻找相关的函数依赖。