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  • 域论基本概念

    特征

    定义:设R是一个环,如果存在一个最小正整数 p 使得对任意a(in)R,都有:
    pa=a+(cdots)+a=0
    则称环R的特征为p,如果不存在这样的正整数,则称环R的特征为0

    定理:
    1.设含幺环R的特征c ( e) 0,则 c 是满足 c(1_R=0)的最小正整数

    2.有限环的特征必然有一个特征,或者说有限环的特征必不为0

    3.如果R是含幺环,并且存在a,b(in)R满足ab=ba则,
    ((a+b)^n=Sigma_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i})

    4.含幺交换环特征是素数p,则((a+b)^p=a^p+b^p)

    定义:如果K对加法构成一个交换群,并且K*=K(setminus){0}也对乘法构成一个交换群,那么称K是一个域

    定理:如果域的特征不为零,则其特征必为素数

    证明.
    设域K的特征为 p,p ( e) 0。
    1.如果p为合数,则存在(1<p_1,p_2<p),使得(p=p_1cdot p_2),则
    ((p_11_k)(p_21_k)=(p_1cdot p_2)1_k=0)
    (p_11_k)(p_21_k)都是域K中的一个元素,并且K中没有零因子
    所以有(p_11_k=0)(p_21_k=0),但这与p是K的特征的前提矛盾
    所以p不能是合数
    2.如果p=1,那么就有(1_k=0_k),这与K是域的前提矛盾
    综上,p必然是一个素数

    定理:设域F的特征为p,则对任意的a(in)F,a ( e) 0,m(in)Z,则ma=0的充要条件是:p | m

    证明.
    必要性显然成立.
    充分性:
    令m=np+r,n(in)Z,0(le)r<p,则
    (ma=(ma)1_F=(m1_F)a=0)
    (ecause a e 0)且 F 中没有零因子
    ( herefore m1_F=0)
    ((np+r)1_F=(np)1_F+r1_F=n(p1_F)+r1_F=0+r1_F=0)
    (r1_F=0)
    这与 p 是F的特征的前提矛盾

    定理:有限域的阶只能是素数幂,并且对任何一个素数幂整数Q都有一个阶为Q的有限域。

    定理:两个阶相同的域必然同构

    定理:(F_q)是一个q阶的有限域,则(F_qsetminus){0}对于乘法构成一个循环群

    证明.
    (ecause F_q)是一个域
    ( herefore F_qsetminus){0}对于乘法也构成一个阶为q-1有限群
    令F' = (F_qsetminus){0},则(forall ain F', aF' = F')
    (prod_{iin aF'} i=prod_{jin F'} j)
    (a^{q-1}prod_{jin aF'}j=prod_{jin aF'}j)
    (a^{q-1}=1)
    所以(F_qsetminus){0}的阶为q-1
    设元素a的阶为ord(a),则ord(a) | q-1
    令F(d)表示F'中阶为d的元素的个数
    (Sigma_{dmid (q-1)} F(d)=q-1)
    (x^d=1)的解表示成集合{(a,a^1,dots,a^{d-1})}
    而在集合{(a,a^1,dots,a^{d-1})}中,由定理(ord(a^n)=frac{ord(a)}{(n,ord(a))}=frac{d}{(n,d)})可知,阶为d的元素个数为(varphi(d))
    如果F'中不存在阶为d的元素,那么F(d)=0
    ( herefore F(d)levarphi(d))
    (Sigma_{dmid(q-1)}varphi(d)=q-1)
    ( hereforeSigma_{dmid(q-1)}(varphi(d)-F(d))=0)
    ( herefore)对所有能够整除q-1的整数d都有,F(d)=(varphi)(d)
    所以F(q-1) = (varphi)(q-1) ( e) 0
    (exists gin F',ord(g)=q-1)
    ( herefore F'=lbrace g^0,g^1,dots, g^{q-2} brace)
    所以F'是一个循环群

    多项式环

    设R是整环,x是一个变量,则R上形为:(a_nx^n+cdots+a_1x+a_0, a_iin R)的元素称为R上的多项式
    设f(x)=(a_nx^n+cdots+a_1x+a_0,a_n e 0)是整环R上的多项式,则称多项式f(x)的次数为n,记为deg f =n

    多项式上的运算:
    记整环R上的多项式集合为R[x],则对于多项式的加法和乘法,R[x]也分别构成一个整环,其加法的单位元为0,乘法的单位元为1。

    多项式整除与不可约多项式:
    设f(x),g(x)是整环R上的任意两个多项式,其中g(x) ( e) 0,如果存在一个多项式q(x)使得f(x)=q(x)(cdot)g(x),则称g(x)整除f(x)或者f(x)被g(x)整除.
    记作g(x) (mid) f(x),称g(x)为f(x)的因式,f(x)为g(x)的倍式。

    多项式整除和整数的整除有着类似的性质,比如整除的传递性,以及如果h(x)是f(x)和g(x)的公因式,那么h(x)能整除任意的s(x)·f(x)+t(x)·g(x)

    不可约多项式:设f(x)是整环R上的非常数多项式,如果除了1和f(x)外,f(x)没有其他非常数因式,则称f(x)为不可约多项式,否则称为合式。

    不可约多项式其实就对应于整数中的素数,所以对于不可约多项式也有类似的Eratoshene筛法:
    设f(x)是域K上的多项式,如果对所有的不可约多项式p(x),deg p (le) (frac{1}{2})deg f,都有p(x) ( mid) f(x),则f(x)一定是不可约多项式

    实例:(forall f(x) in F_2[x]) f(x)被x整除当且仅当其常数项为0,被x+1整除当且仅当其非零系数项恰有偶数个

    多项式欧几里得除法:
    设f(x)=(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0),g(x)=(x^m+cdots+b_1x+b_0)是整环R上的两个多项式,则一定存在多项式q(x)和r(x)使得
    f(x)=q(x)·g(x)+r(x),其中deg r < deg g

    实例:设(F_7[x])上的两个多项式f(x)=(6x^2+3x+1)和g(x)=4x+1,求q(x)和r(x)满足f(x)=q(x)·g(x)+r(x)
    f(x)=(5x+3)·g(x)+4
    ( herefore q(x)=5x+3,r(x)=4)

    推论:一阶多项式g(x)=x-a能够整除f(x)的充要条件是f(a)=0

    此外,类比整数除法可以定义出多项式的最大公因式、最小公倍式、多项式广义欧几里得除法以及贝祖等式

    多项式同余

    设m(x)是多项式环上的一个首一多项式,有两个多项式f(x),g(x),如果m(x) | f(x)-g(x),则称f(x)和g(x)同余,记作f(x)(equiv)g(x) (mod m(x))

    和整数同余一样,a(x)(equiv)b(x) (mod m(x))的充要条件是存在多项式s(x)满足a(x)=b(x)+s(x)·m(x)

    此外,多项式的同余关系仍然是一个等价关系,即多项式的同余关系具有自反性、对称性以及传递性,而且多项式同余也具有保运算性

    定理:设p(x)是K[x]中的多项式,则<p(x)>={f(x)|f(x)(in)K[x],p(x)|f(x)}是K[x]中的理想,由此得到商环K[x]/<p(x)>,该商环上的运算法则为
    加法:f(x)+g(x)=(f+g)(x) mod p(x)
    乘法:f(x)·g(x)=(f·g)(x) mod p(x)

    域的扩张

    定义:设F是一个域,如果K是F的子域,则称F为K的扩域

    如果F是K的扩域,则(1_F=1_K),而且,F可作为K上的线性空间,事实上,对任意(alpha,etain F,kin K)有,(alpha+etain K,k·ain K),用[F:K]表示F在K上的线性空间的位数,称F为K的有限扩域或无限扩域,如果[F:K]是有限的或无限的

    定理:设E是F的扩域,F是K的扩域,则[E:K] = [E:F][F:K]

    代数数与超越数
    设R是一个整环,K是包含R的一个域,F是K的一个扩域
    1)对于F中的某个元素a,如果存在一个非零多项式f(in)R[x]使得f(a)=0,则称a为整环R上的代数数,如果这个多项式的最高次项系数为1,则称a为代数整数
    2)对于F中的某个元素a,如果不存在任何非零首一多项式f(in)R[x]使得f(a)=0,则称a为整环R上的超越数

    如果F的每个元素都是K上的代数数,则称F为K上的代数扩张;如果F中至少有一个元素是K上的超越数,则称F为K上的超越扩张

    **有限域的构造方法:任给一个素数p和一个正整数n,在域(F_p)上任取一个n次不可约多项式p(x)(这一步一般都不太容易,有时甚至是困难的),则域(F_p)上的多项式环(Z_p[x])的商环(Z_p[x]/<p(x)>)就是一个(p^n)阶的有限域。

    实例:(F_2)={0,1}是一个有限域,构造(F_{2^4}):
    (F_2[x])上的4阶不可约多项式有:(x^4+x^3+x^2+x^2+x+1,x^4+x^3+1,x^4+x+1),任取一个不可约多项式:(x^4+x+1),则
    GF((2^4))={0,1,(x,x^2,x^3,x+1,x^2+x,x^3+x^2,x^3+x+1,x^2+1,x^3+x,x^2+x+1,x^3+x^2+x,x^3+x^2+x+1,x^3+x^2+1,x^3+1)}

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