椭圆曲线
设F是一个域，a,b(in)F，则方程(y^2=x^3+ax+b)称为域F上的椭圆曲线。
上述方程称为维尔斯特拉斯方程，其判别式为(y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e)
比如，实数域上的椭圆曲线如下：
椭圆曲线上的加法：
设F是一个域，a,b(in)F，令E={(x,y)|(y^2=x^3+ax+b)}(cup){(infty)}，其中{(infty)}为无穷远点，则可以定义椭圆曲线上的加法为：
1)设(P_1,P_2in E)，令R为(P_1,P_2)两点连线与椭圆曲线的交点关于X轴的对称点，则(P_1+P_2=R)
2)如果(P_1,P_2)两点关于X轴对称，那么规定他们连线与椭圆曲线相交于无穷远点，记为O
3)任何一个点通过上面的运算规则与O相加的和都是它本身
椭圆曲线上的加法的性质：(forall P,Q,Rin E)，如果P,Q,R在一条直线上，那么P+Q+R=O
定理：若规定O+O=O，则(E,+)构成一个阿贝尔群（交换群），其中(infty)为单位元，记为O，P=(x,y)的逆元为Q=(x,-y)
实例：设(y^2=x^3+x+6)是(F_{11})上的椭圆曲线，求(3,6)+(5,2)
k=(frac{6-2}{3-5}=9)
y-6=k(x-3)
y=9x+1
将上式代入(y^2=x^3+x+6)中得：
((9x+1)^2=x^3+x+6=x^3+7x^2+5x+5)
(x-3)(x-5)(x-7)=0
( herefore) x=7
y=9x+1=9
( herefore)(3,6)+(5,2)=(7,-9)=(7,2)
椭圆曲线密码
以下三类公钥系统被认为是安全有效的:
- 基于大整数分解问题的RSA型公钥密码；
- 基于有限域上离散对数问题的ElGamal型公钥密码；
- 基于椭圆曲线离散对数问题的椭圆曲线公钥密码。
椭圆曲线公钥密码优势：对于椭圆曲线离散对数问题，目前不存在亚指数时间算法，从而为达到相同安全性所需的密钥尺寸更小:
– RSA 密码体制：模长1024 比特；
– 椭圆曲线密码体制：模长160 比特。
椭圆曲线密码体制适用于计算、存储、带宽受限，但又要求高速实现的应用领域，例如智能卡、无线通讯等。
El'Gamal密码方案的椭圆曲线形式：
- Gen：设E为(F_q)上的椭圆曲线，一般记为E((F_q))，设P = ((x_p,y_p)in E(F_q))，且P的次数足够大，任取1 < s < ord(P)，令Q = sP = ((x_q,y_q))，则E((F_q))，P，Q为公钥，s为私钥
- Enc：消息m满足0 (le) m < (F_q)，任取1 < r < (F_q)，计算((x_1,y_1)) = rP，((x_2,y_2)) = rQ，c = m·(x_2)，则密文为((x_1,y_1,c))
- Dec：计算(x',y') = s((x_1,y_1))，再计算m'=c·(x'^{-1})
正确性验证：(x',y') = s((x_1,y_1)) = srP = rsP = rQ = ((x_2,y_2))，所以x' = (x_2)，m' = c·(x'^{-1}) = c·(x_2^{-1}) = m·(x_2·x_2^{-1}) = m