洛谷P3246 [HNOI2016]序列

https://www.luogu.com.cn/problem/P3246

解法一：莫队+ST表+单调栈

考虑如何由[L,R]的答案推向[L,R+1]的答案

[L,R]向[L,R+1]，增加的是[L,R+1]  [L+1,R+1] [L+2,R+1] …… [R,R+1] [R,R] 这些区间每个区间的最小值

设[L,R+1]最小的数是a[p]

那么区间左端点在[L,p]之间的这p-L+1个区间的最小值都是a[p]

他们的贡献是a[p]*(p-L+1)

还剩下区间左端点在[p+1,R+1]之间的区间

设f[i]表示以i为右端点，[1,i]中的数为左端点的所有区间的贡献

f[R+1]包含的是 [1,R+1] [2,R+1] [3,R+1]……[R,R+1] [R+1,R+1]

f[p]包含的是[1,p] [2,p] [3,p] …… [p-1,p] [p,p]

因为a[p]是区间[L,R+1]的最小值

所以p<=R+1，且当i<=p时，[i,p]最小值等于[i,R+1]最小值  

所以f[R+1]-f[p] 包含的是[p+1,R+1] [p+2,R+1] ……[R,R+1] [R+1,R+1]，即我们需要得到的区间左端点在[p+1,R+1]之间的区间的贡献

由[L,R]的答案推向[L,R-1]就根据上面算R的贡献减去即可

移动左端点同理，f[i]就表示以i为左端点，[i,n]中的数为右端点的所有区间的贡献

有一点要注意一下，我才用的莫队写法要先动右端点，涉及到区间查询，不允许出现L>R的情况

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 100003

typedef long long LL;

int S;
int a[N];

int l[N],r[N];
int s[N],top;
LL fl[N],fr[N]; 

int lg2[N],st[N][17],stp[N][17];

long long ans;

int L=1,R;

struct node
{
    int l,r,id,pos;
    long long out;
}e[N];

bool cmp(node p,node q)
{
    if(p.pos!=q.pos) return p.pos<q.pos;
    return p.r<q.r;
}

bool cmp2(node p,node q)
{
    return p.id<q.id;
}

int query(int l,int r)
{
    int len=lg2[r-l+1];
    if(st[l][len]<st[r-(1<<len)+1][len]) return stp[l][len];
    return stp[r-(1<<len)+1][len]; 
}

void updater(int pos,int ty)
{
    int p=query(L,pos);
    long long tmp=1ll*(p-L+1)*a[p]+fl[pos]-fl[p];
    ans+=tmp*ty;
}

void updatel(int pos,int ty)
{
    int p=query(pos,R);
    long long tmp=1ll*(R-p+1)*a[p]+fr[pos]-fr[p];
    ans+=tmp*ty;
}


int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=2;i<=n;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        st[i][0]=a[i];
        stp[i][0]=i;
    }
    for(int i=1;1<<i<=n;++i)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;++j)
        {
            st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
            if(st[j][i]==st[j][i-1]) stp[j][i]=stp[j][i-1];
            else stp[j][i]=stp[j+(1<<i-1)][i-1];
        }
    a[0]=-2e9;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(a[i]<=a[s[top]]) top--;
        l[i]=s[top];
        fl[i]=fl[l[i]]+1ll*(i-l[i])*a[i];
        s[++top]=i;
    }
    a[n+1]=-2e9;
    s[top=0]=n+1;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        while(a[i]<=a[s[top]]) top--;
        r[i]=s[top];
        fr[i]=fr[r[i]]+1ll*(r[i]-i)*a[i];
        s[++top]=i;
    }
    S=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        scanf("%d%d",&e[i].l,&e[i].r);
        e[i].id=i;
        e[i].pos=(e[i].l-1)/S+1;
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        while(R<e[i].r) updater(++R,1);
        while(R>e[i].r) updater(R--,-1);
        while(L<e[i].l) updatel(L++,-1);
        while(L>e[i].l) updatel(--L,1);    
        e[i].out=ans;
    }
    sort(e+1,e+m+1,cmp2);
    for(int i=1;i<=m;++i) printf("%lld
",e[i].out);
}

解法二：在线做法

与上面莫队算法类似思路

设区间[L,R]最小值是a[p]

可以把答案分为3部分

一部分是左端点在[L,p]且右端点在[p,R]的区间，这些区间的最小值都是a[p]，贡献是(p-L+1)*(R-p+1)*a[p]

第二部分是左右端点都在[p+1,R]的区间

设f[i]表示以i为右端点，[1,i]中的数为左端点的所有区间的贡献

当右端点是k时，贡献是f[k]-f[p]

这一点在上面的莫队算法中已经说明

所以当右端点在[p+1,R]时，贡献是f[p+1]-f[p]+f[p+2]-f[p]……+f[R-1]-f[p]+f[R]-f[p]

令g表示f的前缀和，贡献就是g[R]-g[p]-f[p]*(R-p)

第三部分是左右端点都在[L,p-1]的区间

同理

设f[i]表示以i为左端点，[i,n]中的数为右端点的所有区间的贡献

g表示f的后缀和

贡献是g[L]-g[p]-f[p]*(p-L)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define N 100003

typedef long long LL;

int a[N];

int l[N],r[N];
int s[N],top;
LL fl[N],fr[N],gl[N],gr[N]; 

int lg2[N],st[N][17],stp[N][17];

int query(int l,int r)
{
    int len=lg2[r-l+1];
    if(st[l][len]<st[r-(1<<len)+1][len]) return stp[l][len];
    return stp[r-(1<<len)+1][len]; 
}

int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=2;i<=n;++i) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        st[i][0]=a[i];
        stp[i][0]=i;
    }
    for(int i=1;1<<i<=n;++i)
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;++j)
        {
            st[j][i]=min(st[j][i-1],st[j+(1<<i-1)][i-1]);
            if(st[j][i]==st[j][i-1]) stp[j][i]=stp[j][i-1];
            else stp[j][i]=stp[j+(1<<i-1)][i-1];
        }
    a[0]=-2e9;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        while(a[i]<=a[s[top]]) top--;
        l[i]=s[top];
        fl[i]=fl[l[i]]+1ll*(i-l[i])*a[i];
        gl[i]=gl[i-1]+fl[i];
        s[++top]=i;
    }
    a[n+1]=-2e9;
    s[top=0]=n+1;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        while(a[i]<=a[s[top]]) top--;
        r[i]=s[top];
        fr[i]=fr[r[i]]+1ll*(r[i]-i)*a[i];
        gr[i]=gr[i+1]+fr[i];
        s[++top]=i;
    }
    int l,r,p;
    long long ans;
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        p=query(l,r);
        ans=1ll*(p-l+1)*(r-p+1)*a[p];
        ans+=gr[l]-gr[p]-1ll*fr[p]*(p-l);
        ans+=gl[r]-gl[p]-1ll*fl[p]*(r-p);
        printf("%lld
",ans);
    }
}