CF1553 E. Permutation Shift

Problem - 1553E - Codeforces

题意：

有一个初始排列1 2 3……n，再给出一个目标排列和一个m（m<=n/3），要求把初始排列变为目标排列

首先，你可以将初始排列的最后k个数字挪到最前面，然后可以选2个数字进行交换，交换至多进行m次

问有多少个k满足能够使初始排列变为目标排列

首先解决一个经典问题

对于一个排列A和一个排列B，每次可以选2个数字交换，问最少交换多少次可以使A变成B

我们在所有的A[i]和B[i]之间连边，这样会得到若干个环

自环不需要交换

一个大小为L的环需要L-1次交换

所以最少交换次数等于 n-环的个数

所以如果确定了k，那么可以用O(n)的时间检验出能否至多交换m次变为目标排列

但是k不能枚举，这样复杂度就是O(n^2)了

这时就要看m<=n/3的限制了

一次交换至多使2个数到目标位置，至多交换m次，所以至多有2m个数可以不在目标位置

即至少要有n-2m个数在目标位置

因为m<=n/3，所以n-2m>=n/3

即一个排列只有至少有n/3个数在正确位置，才有可能在m次交换之内变为目标排列

而1个数只有一个唯一的k能够使它在目标位置

而一个可能的k又需要有至少n/3个数在它的目标位置

所以至多只有3个k有可能满足条件

所以我们只需要检验3个k就可以

怎么确定这3个k是谁

把每个数都减1，这样排列变为[0—n-1]，因为循环移位取模用0比较方便

位置下标从0开始，初始排列第i个数在位置i，当选定k之后，位置i的数会变为(i-k+n)%n

设这个位置的目标数位x，那么就是(i-k+n)%n=x

所以k=(i-x+n)%n

对于每个位置都算出一个k，取最多的3个k即可

#include<bits/stdc++.h>

#define N 300003

int n,m,a[N],sk[N];
int fa[N];
bool vis[N];

int find(int i) { return fa[i]==i ? i : fa[i]=find(fa[i]); }

void unionn(int i,int j)
{
    fa[i]=find(i);
    fa[j]=find(j);
    if(fa[i]!=fa[j]) fa[fa[i]]=j;
}

bool check(int k)
{
    for(int i=0;i<n;++i) fa[i]=i;
    for(int i=0;i<n;++i) unionn(a[i],(i-k+n)%n);
    for(int i=0;i<n;++i) 
    {
        vis[i]=false;
        fa[i]=find(i);
    }
    int h=0;
    for(int i=0;i<n;++i)
        if(!vis[fa[i]])
        {
            vis[fa[i]]=true;
            ++h;
        }    
    return n-h<=m;
}

int main()
{
    int T;
    int sum,ans[4];
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<n;++i) 
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            a[i]--;
        }
        for(int i=0;i<n;++i) sk[i]=0;
        for(int i=0;i<n;++i) sk[(i-a[i]+n)%n]++;
        sum=0;
        for(int i=0;i<n;++i)
            if(sk[i]>=n/3)
                if(check(i)) ans[++sum]=i;
        printf("%d ",sum);
        for(int i=1;i<=sum;++i) printf("%d ",ans[i]);
        printf("
"); 
    }
}