洛谷P2424/codevs 2606 约数和

http://codevs.cn/problem/2606/

https://luogu.lohu.info/problem/show?pid=2424

题目背景

Smart最近沉迷于对约数的研究中。

题目描述

对于一个数X，函数f(X)表示X所有约数的和。例如：f(6)=1+2+3+6=12。对于一个X，Smart可以很快的算出f(X)。现在的问题是，给定两个正整数X,Y(X<Y)，Smart希望尽快地算出f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值，你能帮助Smart算出这个值吗？

输入输出格式

输入格式：

输入文件仅一行，两个正整数X和Y（X<Y），表示需要计算f(X)+f(X+1)+……+f(Y)。

输出格式：

输出只有一行，为f(X)+f(X+1)+……+f(Y)的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2 4

输出样例#1：

14

输入样例#2：

123 321

输出样例#2：

72543

说明

对于20%的数据有1≤X＜Y≤105。

对于60%的数据有1≤X＜Y≤1*107。

对于100%的数据有1≤X＜Y≤2*109。

记住一点:求[l,r]，先想想前缀和[1,r]-[1,l-1]

 

一开始想到的：

60分TLE

[1,n]数i的出现次数为n/i

就这个还是想了好久，写出来才发现的

智商啊！！！！！

1=1

2=1+2

3=1+    3

4=1+2+    4

5=1+           5

6=1+2+3+      6

#include<cstdio>
using namespace std;
int x,y;
long long ans;
int main()
{
    scanf("%d%d",&x,&y);
    for(int i=1;i<=x-1;i++) ans-=i*((x-1)/i);
    for(int i=1;i<=y;i++) ans+=i*(y/i);
    printf("%lld",ans); 
}

AC做法:

除法分块

以12为例： 

i               1    2    3   4  5  6  7  8  9  10  11  12     

出现次数    12   6   4   3  2  2   1  1  1  1    1    1

可以发现数i在[1,n]中的出现次数相同的数是挨在一块的

由于挨着，所以它又是一个等差数列

所以可以出现次数相同的作为一块一起算

设每一块所在区间为[L,R]

可以枚举L，那么R=n/（n/L）

（不要问怎么想出来的，学长说脑子，O|￣|_  ，需要扶助的智商啊啊啊啊o(≧口≦)o）

 所以这一块的ans=每个数的出现次数（n/L）*这一块所包含的的的数的总和

其中这一块所包含的数的总和，用等差数列求和公式 （a1+an）*n/2，可得

=（L+R）*(R-L+1)/2

#include<cstdio>
using namespace std;
long long x,y;
long long work(long long n)
{
    long long ans=0,i=1,j;
    while(i<=n)
    {
        j=n/(n/i);
        ans+=(n/i)*(i+j)*(j-i+1)/2;
        i=j+1;    
    }
    return ans;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&x,&y);
    printf("%lld",work(y)-work(x-1));
}

注意要用long long，因为ans+=后面那一串可能会爆int，70分

于是我就改成了ans+=1ll*(1ll*n/1ll*i)*(1ll*i+1ll*j)*(1ll*j-1ll*i+1)/2;

然后就0了，原因未知。。。