bzoj 1242 Zju1015 Fishing Net 弦图判定

1242: Zju1015 Fishing Net弦图判定

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Description

在一个高度信息化的渔村，鱼网的制作和修补都是由电脑完成。众所周知，鱼网是由网组成的(废话)，网组成的东西叫网眼。如果网眼够小，就能捕到很多鱼；如果网眼太大，鱼就会全部漏走。每次捕鱼回来，鱼网都会烂得很厉害，小网眼会变成网眼，那鱼网就需要修补。他们希望有一个程序能够为他们判断鱼网是否需要修补。程序会把鱼网看作一个联通的图(不用进一步解释了吧)。他们的判断方法是：任何一个长度(组成其的边的数目)超过3的闭合的圈，都必须有一条交线将它分作两部分。(提示：递归下去，其实就是每个网眼都只能是三角形)如果合乎要求，程序就输出“Perfect",否则输出"Imperfect". 注：这里的交线是指一个联结一封闭圈的不同结点而捕属于该圈的一条边。

Input

数据以一行N M开始，表示鱼网有N个结点和M条边。(n<=0<=1000)以下M行是M条边的描述。每行两个整数A，B，表示结点A与结点B之间存在一条边。

Output

输出每个鱼网的测试结果，Perfect或Imperfect

Sample Input

4 4
1 2
2 3
3 4
4 1

Sample Output

Imperfect

弦图判定 MCS算法

以下均摘自CDQ WC2009讲稿《弦图与区间图》

https://wenku.baidu.com/view/07f4be196c175f0e7cd13784.html

几个定义：

团：完全图

单纯点：若点v 和 v的相邻点的集合构成的诱导子图为一个团，则v为单纯点

完美消除序列：一个点的序列{v1，v2，v3……vn} 满足vi在{vi，vi+1……vn}的诱导子图中为一个单纯点

弦：连接环中不相邻的点的边

弦图：图中任意长度>3的环都至少有一个弦

弦图判定定理：一个图为弦图当且仅当它有一个完美消除序列

MCS（最大势算法）：

从n到1的顺序依次给每个点编号，编号为i的点出现在完美消除序列的第i个

设label[i]表示第i个点与多少个已标号的点相邻，每次选择label[i]最大的未标号点编号

根据编号得到一个点的序列

若此序列为完美消除序列，则图为弦图

判断序列为完美消除序列：

暴力法：O（m*n）

依次判断{v_i+1，v_i+2，……vn}中所有与vi相邻的点是否为一个团

优化算法：O（m+n）

{v_i+1，v_i+2，……v_n} 中与v_i相邻的点{v_j1,v_j2……v_jk}

只需判断v_j1是否与{v_j2,……j_jk}相邻

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 1101
using namespace std;
bool con[N][N],vis[N];
int st[N],top;
int rk[N],sa[N],d[N];
int n,m;
int tot,front[N*2],to[N*N*4],nxt[N*N*4];
void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
}
void add(int u,int v)
{
    to[++tot]=v; nxt[tot]=front[u]; front[u]=tot;
}
#define f(x) x+n+1
void mcs()
{
    for(int i=1;i<=n;i++) add(f(0),i);
    int pos,mx=0;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        pos=0;
        for(int j=front[f(mx)] ; j && !pos ; j=nxt[j])
            if(!vis[to[j]]) 
            {
                pos=to[j];
                vis[pos]=true;
                sa[i]=pos;
            }
            else front[f(mx)]=nxt[j];
        if(!pos) mx--,i++;
        else
        {
            for(int j=front[pos];j;j=nxt[j])
                if(!vis[to[j]])
                {
                    d[to[j]]++;
                    add(f(d[to[j]]),to[j]);
                    mx=max(mx,d[to[j]]);
                }
        }
    }
}
int main()
{
    read(n); read(m);
    int u,v;
    for(int i=1;i<=m;++i) 
    {
        read(u); read(v);
        add(u,v);
        add(v,u);
        con[u][v]=con[v][u]=true;
    }
    mcs();
    for(int i=1;i<=n;++i) rk[sa[i]]=i;
    rk[0]=n+5;
    int now;
    for(int i=n;i;--i)
    {
        now=sa[i];
        top=0;
        for(int j=front[now];j;j=nxt[j])
            if(rk[to[j]]>i) st[++top]=to[j];
        for(int j=2;j<=top;j++)
            if(!con[st[1]][st[j]])
            {
                puts("Imperfect");
                return 0;
            }
    }
    puts("Perfect");
}