2017 国庆湖南 Day4

 期望得分：20+40+100=160

实际得分：20+20+100=140

破题关键：

f（i）=i

证明：设[1,i]中与i互质的数分别为a1，a2……aφ(i)

那么 i-a1，i-a2，…… i-aφ(i) 也与i互质

所以 Σ ai = i*φ(i)- Σ ai

所以 Σ ai = i*φ(i)/2

所以 f（i）Σai / φ(i) * 2 = i

 

问题转化为 求 Σ i^k

 用拉格朗日差值法

我是真没看懂

 

题解：

std：

#include <cstring>
#include <ctime>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int Mod=998244353;
const int MAXK=1000000;

int power(int x,int k)
{
    int ret=1;
    while (k) {
        if (k&1) ret=1LL*ret*x%Mod;
        x=1LL*x*x%Mod; k>>=1; }
    return ret;
}

int k;

int f[MAXK+10];

int pre[MAXK+10],suf[MAXK+10];

int jc[MAXK+10],K[MAXK+10];

int cnt(int n)
{
    if (n==0) return 0;
    int ans=0;
    if (n<=k+10 || n<=MAXK) {
        for (int i=1;i<=n;i++) ans=(K[i]+ans)%Mod; }
    else 
    {
        pre[0]=1;
        for (int i=1;i<=k+2;i++) pre[i]=1LL*pre[i-1]*(n-i)%Mod;
        
        suf[k+3]=1;
        for (int i=k+2;i>=1;i--) suf[i]=1LL*suf[i+1]*(n-i)%Mod;
        
        int l=k+1,r=0,flag=((k+1)&1)?(-1):(1);
        for (int i=1;i<=k+2;i++) 
        {
            int s=1LL*pre[i-1]*suf[i+1]%Mod,m=1LL*(flag*jc[l]+Mod)*jc[r]%Mod;
            ans=(1LL*f[i]*s%Mod*power(m,Mod-2)%Mod+ans)%Mod;
            l--; r++; flag*=-1; 
        } 
    }
    ans=((ans+K[2])%Mod-1+Mod)%Mod;
    return ans;
}

int L,R;

void init()
{
    cin>>L>>R>>k;
    for (int i=1;i<=MAXK+5;i++) K[i]=power(i,k);
        
    jc[0]=1;
    for (int i=1;i<=k+2;i++) jc[i]=1LL*jc[i-1]*i%Mod;
    for (int i=1;i<=k+2;i++) f[i]=(f[i-1]+K[i])%Mod;
    
    cout<<(cnt(R)-cnt(L-1)+Mod)%Mod;
    return ;
}

int main()
{
    freopen("count.in","r",stdin);
    freopen("count.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    //fprintf(stderr,"%.3lf
",1.0*clock()/(1.0*CLOCKS_PER_SEC));
    return 0;
}

令b[i]=a[i]-k

令sum[i] 表示 b[i] 的前缀和

则题目转化为

最大化r-l，l r 满足 sum[r]-sum[l]>=0

令m[i] 表示r=i时，最优的l

那么枚举r，ans=max（r-m[r]）

若i<j 且 sum[i]<=sum[j] 那么 i-m[i] 一定不会成为最优解

因为此时 m[i]~j 更优

去除冗余的i之后，剩余的sum[i] 单调递减

 维护一个单调栈，栈内sum[i]单调递减

因为随着r的左移，l不会右移

所以维护两个指针l，r

r从n枚举到1，

在栈中找到第一个>sum[r]的sum[k]

那么l=栈中第k+1的元素

因为k以及k之前的位置，在栈中的都比sum[r]大

不在栈中的，因为栈是一个单调递减的栈，所以他们的sum也比sum[r]大

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

#define N 1000002

using namespace std;

int a[N];
long long b[N];
int st[N],top;

void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
}

int main()
{
    freopen("blocks.in","r",stdin);
    freopen("blocks.out","w",stdout);
    int n,m,k,ans;
    read(n); read(m); 
    for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    while(m--)
    {
        read(k);
        for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-k+b[i-1];
        top=1; ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if(!top || b[i]<b[st[top]]) st[++top]=i;
        for(int i=n;i;i--)
        {
            while(top && b[st[top]]<=b[i]) top--;
            ans=max(ans,i-st[top+1]); 
        }
        printf("%d ",ans);
    }
}

hash+二分

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 50001
#define M 100001
#define S 1000001

#define mod 1500007

char s[10001];

int tot;

int has[S],bit[10001];

int len[N+M],R[N+M];

int w[11];

void read(int &x)
{
    x=0; char  c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
}

void cal(int i)
{
    len[i]=strlen(s+1);
    R[i]=tot+len[i];
    has[tot+1]=s[1]-'a';
    for(int j=2;j<=len[i];j++) has[tot+j]=(has[tot+j-1]*26+s[j]-'a')%mod;
    tot+=len[i];
}

int gethash(int i,int l,int r,int length)
{
    if(R[i]-len[i]+1==l) return has[r];
    return (has[r]-1ll*has[l-1]*bit[length]%mod+mod)%mod;
}

int main()
{
    freopen("biology.in","r",stdin);
    freopen("biology.out","w",stdout);
    int n,m;
    read(n); read(m);
    bit[0]=1;
    for(int i=1;i<=10000;i++) bit[i]=bit[i-1]*26%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%s",s+1); cal(i); }
    int ty,y,mi;
    int l,r,mid,ans;
    int st; bool ok;
    while(m--)
    {
        read(ty);
        if(ty==1) { scanf("%s",s+1); cal(++n); }
        else
        {
            read(y); mi=M;
            for(int i=1;i<=y;i++) read(w[i]),mi=min(len[w[i]],mi);
            l=0,r=mi,ans=0;
            while(l<=r)
            {
                mid=l+r>>1;
                st=gethash(w[1],R[w[1]]-mid+1,R[w[1]],mid);
                ok=true;
                for(int i=2;i<=y && ok;i++)
                    if(gethash(w[i],R[w[i]]-mid+1,R[w[i]],mid)!=st) ok=false;
                if(ok) ans=mid,l=mid+1;
                else r=mid-1;
            }
            printf("%d
",ans);
        }
    }
}

std思路：

后缀倒过来转变成前缀，然后求trie树上的LCA的深度就是答案

std：

#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

int read()
{
    int ret=0;
    char c=getchar();
    
    while (c<'0' || c>'9') c=getchar();
    
    while (c>='0' && c<='9') {
        ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }
    
    return ret;
}

const int MAXLOG=20,MAXT=1000000;

const int MAXN=100000,MAXL=10000;

int LOG[MAXL+10];

int n,m,len,cnt;

int pos[MAXN+10];

char last[MAXN+10];

struct Trie
{
    int s[26];
    int f[MAXLOG+10];
    int dep;
}tr[MAXT+10];

char str[MAXL+10];

void insert(int x)
{
    last[x]=str[len-1];
    
    int now=1;
    for (int i=len-1;i>=0;i--) {
        int id=str[i]-'a';
        if (!tr[now].s[id]) {
            tr[now].s[id]=++cnt;
            tr[cnt].f[0]=now;
            tr[cnt].dep=tr[now].dep+1;
            
            for (int i=1;i<=MAXLOG;i++) {
                tr[cnt].f[i]=tr[tr[cnt].f[i-1]].f[i-1];
                if (tr[cnt].f[i]==0) break; } }
        now=tr[now].s[id]; }
    
    pos[x]=now;
    
    return ;
}

int up(int x,int step)
{
    while (step) {
        int up=LOG[step];
        x=tr[x].f[up];
        step-=(1<<up); }
    return x;
}

int LCA(int x,int y)
{
    if (tr[x].dep>tr[y].dep) x=up(x,tr[x].dep-tr[y].dep);
    else y=up(y,tr[y].dep-tr[x].dep);
    if (x==0 || y==0)
        puts("WTF??");
    
    int k=LOG[tr[x].dep];
    while (x!=y) {
        while (k>=0 && tr[x].f[k]==tr[y].f[k]) k--;
        if (k==-1) return tr[x].f[0];
        x=tr[x].f[k]; y=tr[y].f[k]; }
    
    return x;
}

void init()
{
    for (int i=1,now=-1,next=1;i<=MAXL;i++) {
        if (i==next) { now++; next<<=1; }
        LOG[i]=now; }
    
    n=read(),m=read(); cnt=1;
    int sum=0; 
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("
%s",str); len=strlen(str);
        sum+=len;
        insert(i); }
    
    while (m--) {
        int ty=read();
        if (ty==1) {
            scanf("%s",str); len=strlen(str);
            insert(++n); }
        else {
            int T=read(),ans=0;
            while (T--) {
                int x=read(); //putchar(last[x]); putchar(' ');
                if (ans==0) ans=pos[x];
                else ans=LCA(ans,pos[x]); }
            printf("%d
",tr[ans].dep); } }
    
    return ;
}

int main()
{
    freopen("biology.in","r",stdin);
    freopen("biology.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}