线性筛约数个数和、约数和

筛约数个数和

理论基础：

1、对n质因数分解，n=p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 ……

则n的约数个数为(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)……

2、线性筛素数时，用i和素数pj来筛掉 i*pj，

其中pj一定是i*pj的最小素因子

如果i是pj的倍数，pj也是i的最小素因子

设t[i] 表示i的约数个数，e[i] 表示i的最小素因子的个数

A、如果i是质数，t[i]=2,e[i]=1

B、如果i不是质数，枚举已有的质数pj

i*pj的最小素因子是pj

1、如果i是pj的倍数那么e[i]即为i中包含的pj的个数，所以i*pj中包含的pj的个数为e[i]+1

       所以e[i*pj]=e[i]+1,t[i*pj]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2)

2、如果i不是pj的倍数，e[i*pj]=1,t[i*pj]=t[i]*t[pj]（积性函数的性质）=t[i]*2（素数的约数个数=2）

#include<cstdio>

using namespace std;

#define N 1000001

bool vis[N];
int prime[N];

int t[N],e[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    t[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            t[i]=2;
            e[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(i*prime[j]>n) break;
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
                e[i*prime[j]]=e[i]+1;
                break;
            }
            else 
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]*2;
                e[i*prime[j]]=1;
            }
        }
    }
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans+=t[i];
    printf("%lld",ans);
}

筛约数和

t[i] 表示i的约数和

e[i] 表示i的约数中，不能被i的最小素因子整除的约数和

A、i是质数，t[i]=i+1,e[i]=1

B、i不是质数

i*pj的最小素因子是pj

1、如果i不是pj的倍数，那么i的所有约数中，必然没有pj的倍数

可以用反证法证明这个：设x是i的约数，且x是pj的倍数，

那么 x=pj*b，i=x*a=pj*b*a

即i是pj的b*a倍，与i不是pj的倍数相矛盾

令S表示i的约数集，S’表示i的约数翻pj倍后的数的集合

则S∩S’=∅，则S和S’中无重复元素

所以t[i*pj]=S+S'=t[i]+t[i]*pj=t[i]*(pj+1)

S’中的所有元素都能整除pj，所以e[i*pj]=t[i]

2、如果i是pj的倍数，那么S和S’必有交集T

T=S中pj的倍数

所以i*pj的约数和要去除交集T

那么t[i*pj]=S+S'-T=S'+S-T=t[i]*pj+e[i]

因为pj既是i的最小素因子，有事i*pj的最小素因子

所以e[i*pj]=e[i]

#include<cstdio>

typedef long long LL;

#define N 100001

int prime[N];
bool vis[N];

LL t[N],e[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            t[i]=i+1;
            e[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;++j)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            vis[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                t[i*prime[j]]=t[i]*prime[j]+e[i];
                e[i*prime[j]]=e[i];
                break;
            } 
            t[i*prime[j]]=t[i]*(prime[j]+1);
            e[i*prime[j]]=t[i];
        }
    }
    LL ans=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) ans+=t[i];
    printf("%lld",ans);
}