哈密顿问题

推荐学习资料：

http://www.cnblogs.com/Ash-ly/p/5452580.html

http://ylroki.blog.163.com/blog/static/162978871201032775322518/

https://wenku.baidu.com/view/38dd0d4714791711cd791725.html

一、定义

通过图G的每个节点一次，且仅一次的通路称为哈密顿通路

通过图G的每个节点一次，且仅一次的回路称为哈密顿回路

含有哈密顿回路的图称为哈密顿图

二、哈密顿图的性质与判定

摘自：https://wenku.baidu.com/view/38dd0d4714791711cd791725.html

三、哈密顿回路的构造

摘自：http://ylroki.blog.163.com/blog/static/162978871201032775322518/

四、哈密顿回路的构造代码

输出哈密顿图的一条哈密顿回路

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 401

int n,m;

bool e[N][N];

int cnt,s,t;
bool vis[N];
int ans[N];

void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
}

void Reverse(int i,int j)
{
    while(i<j) swap(ans[i++],ans[j--]);
}

void expand()
{
    while(1)
    {
        int i;
        for(i=1;i<=n;++i)
            if(e[t][i] && !vis[i])
            {
                ans[++cnt]=t=i;
                vis[i]=true;
                break;
            }
        if(i>n) return;
    }
}

void Hamilton()
{
    memset(vis,false,sizeof(vis));
    cnt=0;
    s=1;
    for(t=1;t<=n;++t)
        if(e[s][t]) break;
    vis[s]=vis[t]=true;
    cnt=2;
    ans[1]=s;
    ans[2]=t;
    while(1)
    {
        expand();
        Reverse(1,cnt);
        swap(s,t);
        expand();
        if(!e[s][t])
        {
            int i;
            for(i=2;i<cnt;++i)
                if(e[ans[i]][t] && e[s][ans[i+1]]) break;
            t=ans[i+1];
            Reverse(i+1,cnt);
        }
        if(cnt==n) break;
        int j,i;
        for(j=1;j<=n;++j)
            if(!vis[j])
            {
                for(i=2;i<cnt;++i)
                    if(e[ans[i]][j]) break;
                if(e[ans[i]][j]) break;
            }
        s=ans[i-1];
        Reverse(1,i-1);
        Reverse(i,cnt);
        ans[++cnt]=j;
        t=j;
        vis[j]=true;
    }
    for(int i=1;i<=cnt;++i) printf("%d ",ans[i]);
    printf("%d
",ans[1]);
}

int main()
{
    int u,v;
    while(1)
    {
        read(n); read(m);
        if(!n) return 0;
        memset(e,false,sizeof(e));
        while(m--)
        {
            read(u); read(v);
            e[u][v]=e[v][u]=true;
        }
        Hamilton();
    }
}

五、竞赛图上的哈密顿通路

定理：竞赛图一定存在哈密顿通路。竞赛图的任意导出子图也一定存在哈密顿通路

采用数学归纳法，假设现在已有路径v1-->v2-->v3……-->vk

新加一个点v_k+1,考虑vk与v_k+1之间边的方向

A、若vk-->v_k+1，那直接把v_k+1加在vk后面即可

B、若v_k+1-->vk，从vk往前枚举 vi，找到第一个存在边vi-->vk的vi，

vi之后的点vj（j>i）都存在边v_k+1-->vj，所以把v_k+1插在vi后面即可

如果找不到这样的vi，说明对于所有的vi，存在边v_k+1-->vi

把v_k+1放到最前面即可

六、求竞赛图的哈密顿通路代码

输入一张竞赛图，

格式为n*n的01矩阵

第i行第j列为1表示存在边i-->j

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>

using namespace std;

#define N 2001

int n;
char s[N<<1];
int e[N][N];

int front,nxt[N];

int st[N];

void Hamilton()
{
    front=1;
    memset(nxt,0,sizeof(nxt));
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(e[front][i])
        {
            nxt[i]=front;
            front=i;
            continue;
        }
        int j,k;
        for(j=front;j;k=j,j=nxt[j])
            if(e[j][i])
            {
                nxt[i]=j;
                nxt[k]=i;
                break;
            }
        if(!j) nxt[k]=i;
    }
}

void print()
{
    int now=front;
    int top=0;
    while(now)
    {
        st[++top]=now;
        now=nxt[now];
    }
    for(int i=top;i>1;--i) printf("%d ",st[i]);
    printf("%d
",st[1]);
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        memset(e,false,sizeof(e));
        for(int i=1;i<=n;++i) 
        {
            getchar();
            scanf("%[^
]",s);
            int t=0;
            for(int j=0;t<n;j+=2) e[i][++t]=s[j]-'0';
        }
        Hamilton();
        print();
    }
}     

七、竞赛图上的哈密顿回路

定理：竞赛图的任意强连通子图必存在哈密顿回路

法一、枚举起点，求哈密顿通路，判断是否首尾相连

法二、在哈密顿通路的基础上构造回路

假设现在有这样的一条哈密顿通路

1、找到第一个能连回1号点的点，下图中为3号点，设其为L，1号点为R

得到了一个环，现在扩充这个环，使其包含所有节点

 

2、从L往后枚举每个点i，表示现在要把点i加入环中

从R开始枚举已求出的环上的每个点，找到第一个存在边i-->j 的点j

如果找不到这样的点j，继续枚举i的下一个点

下图中i为4号点，j为2号点，那么j之前枚举到的环上的点k一定存在边k-->i

就得到了1条新的哈密顿回路

比较它与原来的哈密顿回路

除了新加入的点之外，只有点j的上一个点的出边改变，指向新加入的点

所以记录j的上一个点k，这里k=1

把新的点i插到k后面即可

如果点i之前存在跳过去的点，那么需要把这些点一起插入k的后面

下图中点h是被跳过去的点

代码：

已有一条从l开始的哈密顿通路

  r=0;
        for(int i=nxt[l];i;i=nxt[i])
            if(r)
            {
                for(int j=r,k=l;;k=j,j=nxt[j])
                {
                    if(mp[i][j])
                    {
                        nxt[k]=nxt[l];
                        if(k!=l) nxt[l]=r;
                        l=i; r=j;
                        break;
                    }
                    if(j==l) break;
                }
            }
            else if(mp[i][l]) r=l,l=i;
        nxt[l]=r;