Codeforces 193 D. Two Segments

http://codeforces.com/contest/193/problem/D

 

题意：

给一个1~n的排列，在这个排列中选出两段区间，求使选出的元素排序后构成公差为1的等差数列的方案数。

 

换个角度思考问题，题意转化为存在多少对[L,R] ，（R>L），满足将值为[L,R]的区间染色后，所得区间数<=2

假设现在已知[L,R]的染色情况，看将值为L-1的位置染色后，区间数量的变化

若L-1左右两边都没有染色，区间数量+1

若L-1左右两边有一边染了色，区间数量不变

若L-1左右两边都染色了，区间数量-1

这样就有了枚举L R 的 n^2 做法

 

令f[i]表示当左端点为L，有端点为i时区间的数量

从大到小枚举L

考虑由[L,m]   m∈[L+1,n]  到 [L-1,m]  m∈[L,n] 时

f[i] i∈[L-1,n]的变化

设L-1 左右两边的数分别为x和y，且x<y

A、L-1左右两边都没有染色，即x<y<L-1，

染上L-1后会使区间数+1，即f[i]加1 ，i∈[L-1,n]

B、L-1左右两边有一边染色，即x<L-1<y，（y的那一边染色）

若染色的区间原本不包含y，染上L-1后会使区间数+1，即f[i]加1，i∈[L-1,y-1]

若染色的区间原本包含y，L-1与y相连，染上L-1后区间数不变

C、L-1左右两边都染色了，即L-1<x<y

若染色的区间原本不包含x，也不包含y，染上L-1后会使区间数+1，即f[i]加1，i∈[L-1,x-1]

若染色的区间原本只包含其中一个（只包含y），染山L-1后区间数不变

若染色的区间原本包含x和y，染上L-1后，两边的区间相连，区间数-1，即f[i]减1，i∈[y，n]

用线段树维护f[i]

这就变成了线段树的区间+1，区间-1，查询区间内f[i]<=2的数的个数

维护区间最小值mi[i]，等于最小值的个数tot[i]，等于最小值+1的个数tot1[i]

答案由两部分组成：

1、mi[i]<=2，ans+=tot[i]

2、mi[i]==1，ans+=tot1[i]

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

#define N 300001

int a[N+1],b[N+1];

int tag[N<<2];
int tot[N<<2],tot1[N<<2];
int mi[N<<2];

long long ans=0;

void read(int &x)
{
    x=0; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) c=getchar();
    while(isdigit(c)) { x=x*10+c-'0'; c=getchar(); }
}

void build(int k,int l,int r)
{
    tot[k]=r-l+1;
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    build(k<<1,l,mid);
    build(k<<1|1,mid+1,r);
}

void down(int k)
{
    tag[k<<1]+=tag[k];
    tag[k<<1|1]+=tag[k];
    mi[k<<1]+=tag[k];
    mi[k<<1|1]+=tag[k];
    tag[k]=0;
}

void update(int k)
{
    mi[k]=min(mi[k<<1],mi[k<<1|1]);
    tot[k]=tot[k<<1]*(mi[k<<1]==mi[k])+tot[k<<1|1]*(mi[k<<1|1]==mi[k]);
    tot1[k]=tot1[k<<1]*(mi[k<<1]==mi[k])+tot1[k<<1|1]*(mi[k<<1|1]==mi[k]);
    tot1[k]+=tot[k<<1]*(mi[k<<1]==mi[k]+1)+tot[k<<1|1]*(mi[k<<1|1]==mi[k]+1);
}

void change(int k,int l,int r,int opl,int opr,int w)
{
    if(l>=opl && r<=opr)
    {
        mi[k]+=w;
        tag[k]+=w;
        return;
    }
    if(tag[k]) down(k);
    int mid=l+r>>1;
    if(opl<=mid) change(k<<1,l,mid,opl,opr,w);
    if(opr>mid) change(k<<1|1,mid+1,r,opl,opr,w);
    update(k);
}

void query(int k,int l,int r,int opl,int opr)
{
    if(l>=opl && r<=opr)
    {
        ans+=tot[k]*(mi[k]<=2)+tot1[k]*(mi[k]==1);
        return;
    }
    if(tag[k]) down(k);
    int mid=l+r>>1;
    if(opl<=mid) query(k<<1,l,mid,opl,opr);
    if(opr>mid) query(k<<1|1,mid+1,r,opl,opr);
}    

int main()
{
    int n,m;
    read(n);
    int x,y;
    for(int i=1;i<=n;++i) read(x),a[x]=i;
    build(1,1,n);
    for(int i=n;i;--i)
    {
        b[a[i]]=i;
        x=b[a[i]-1];
        y=b[a[i]+1];
        if(x>y) swap(x,y);
        if(x)
        {
            change(1,1,n,y,n,-1);
            change(1,1,n,i,x-1,1);
        }
        else if(y) change(1,1,n,i,y-1,1);
        else change(1,1,n,i,n,1);
        //long long last=ans;
        query(1,1,n,i,n);
        //cout<<i<<' '<<ans-last<<'
';
    }
    cout<<ans-n;
}