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  • P5395 【模板】第二类斯特林数·行

    闲扯

    多项式乘法练习题

    题面

    P5395 【模板】第二类斯特林数·行

    Solution

    我们设 (s_{n,m}=egin{Bmatrix} n\ m end{Bmatrix})

    考虑第二类斯特林数的通项式:

    [s_{n,m}=sum_{i=0}^m (-1)^iC_{m}^ifrac{(m-i)^n}{m!}\ =sum_{i=0}^m (-1)^ifrac{m!}{(m-i)! i!}frac{(m-i)^n}{m!}\ =sum_{i=0}^m frac{(-1)^i}{i!}cdot frac{(m-i)^n}{(m-i)!} ]

    可以发现这是一个卷积的形式。

    我们设 (hat{A}=sum_{i=0}^{infin}frac{(-1)^i}{i!}x^i,hat{B}=sum_{i=0}^{infin}frac{i^n}{i!}x_i,hat{S}=sum_{i=0}^{infin}s_icdot x_i)

    我们有 (hat{S}=hat{A}cdot hat{B}) ,直接上 (NTT) 即可。

    考虑怎么证明通项式。

    由定义可知 (s_{n,m}) 表示 (n) 个数恰好分入 (m) 个集合的方案数。

    考虑容斥。

    我们枚举 (i) 表示有 (i) 个集合一定不选,方案数为 (C_m^i) ,其他的任意放入剩下的 (m-i) 个集合中,方案数为 ((m-i)^n) ,由于集合是不区分的,所以还要除以 (m!)

    加上容斥系数,我们即可得到上方的通项式。

    Code

    #include<bits/stdc++.h>
    #define del(a,i) memset(a,i,sizeof(a))
    #define ll long long
    #define inl inline
    #define il inl void
    #define it inl int
    #define ill inl ll
    #define re register
    #define ri re int
    #define rl re ll
    #define mid ((l+r)>>1)
    #define lowbit(x) (x&(-x))
    #define INF 0x3f3f3f3f
    using namespace std;
    template<class T>il read(T &x){
    	int f=1;char k=getchar();x=0;
    	for(;k>'9'||k<'0';k=getchar()) if(k=='-') f=-1;
    	for(;k>='0'&&k<='9';k=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+k-'0';
    	x*=f;
    }
    template<class T>il _print(T x){
    	if(x/10) _print(x/10);
    	putchar(x%10+'0');
    }
    template<class T>il print(T x){
    	if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    	_print(x);
    }
    ll mul(ll a,ll b,ll mod){long double c=1.;return (a*b-(ll)(c*a*b/mod)*mod)%mod;}
    it qpow(int x,int m,int mod){
    	int res=1,bas=x;
    	while(m){
    		if(m&1) res=(1ll*res*bas)%mod;
    		bas=(1ll*bas*bas)%mod,m>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    const int MAXN = 8e5+5,mod = 167772161,g = 3,ig = 55924054;
    int n,lim=1,len,rev[MAXN],a[MAXN],b[MAXN],inv[MAXN],ifac[MAXN];
    it add(int x,int y){
    	return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
    }
    it mul(int x,int y){
    	return 1ll*x*y%mod;
    }
    il NTT(int *a,int ty){
    	for(ri i=0;i<lim;++i)
    		if(i<rev[i])
    			swap(a[i],a[rev[i]]);
    	for(ri md=1;md<lim;md<<=1){
    		int w_n=qpow(ty==1?g:ig,(mod-1)/(md<<1),mod);
    		for(ri r=md<<1,j=0;j<lim;j+=r){
    			int w=1;
    			for(ri k=0;k<md;++k,w=mul(w,w_n)){
    				int x=a[j+k],y=mul(w,a[j+md+k]);
    				a[j+k]=add(x,y),a[j+md+k]=add(x,mod-y);
    			}
    		}
    	}
    	if(ty==-1){
    		int inv_lim=qpow(lim,mod-2,mod);
    		for(ri i=0;i<lim;++i)
    			a[i]=mul(a[i],inv_lim);
    	}
    }
    int main(){
    //	freopen(".in","r",stdin);
    //	freopen(".out","w",stdout);
    	read(n),inv[0]=inv[1]=1,ifac[0]=1;
    	for(ri i=2;i<=n;++i)
    		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
    	for(ri i=1;i<=n;++i)
    		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
    	for(ri i=0,k=1;i<=n;++i,k*=-1)
    		a[i]=k==1?ifac[i]:mod-ifac[i],b[i]=mul(qpow(i,n,mod),ifac[i]);
    	for(;lim<=2*n;lim<<=1)
    		++len;
    	for(ri i=0;i<lim;++i)
    		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
    	NTT(a,1),NTT(b,1);
    	for(ri i=0;i<lim;++i)
    		a[i]=mul(a[i],b[i]);
    	NTT(a,-1);
    	for(ri i=0;i<=n;++i)
    		printf("%d ",a[i]);
    	return 0;
    }
    
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