LIS最长上升子序列O（nlogn)算法

正常的求LIS的方法是用dp来做，时间复杂度为O(n^2),但是面对一些题目的时候这个复杂度就有点高了，就去学了一下nlogn的解法。主要运用到了二分查找，stl里面的lower_bound 也可以。

upper_bound（i） 返回的是键值为i的元素可以插入的最后一个位置（上界） 
lower_bound（i） 返回的是键值为i的元素可以插入的位置的第一个位置（下界）

先贴一发O(n^2)的代码

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define pii pair<int,int>
#define vi vector<int>
#define vc vector<char>
#define mii map<int,int>
#define si(a) scanf("%d",&a)
#define ss(a) scanf("%s",&a)
#define sl(a) scanf("%I64d",&a);
#define slf(a) scanf("%lf",&a);
#define CLEAR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pi acos(-1)

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=2e5+5;

typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
int dp[N];
int num[N];
int n;

void solve()
{
    int res=0;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        dp[i]=1;
        for (int j=0;j<i;j++)
        {
            if(num[j]<num[i])
            {
                do[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
            res=max(res,dp[i]);
        }
    }
    cout<<res<<endl;
}
int main()
{
    fio;
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>num[i];
    }
    solve();
}

这个很好理解，对于O(nlogn)的解法我看了一些博客，里面比较重要的就是替换这个操作，每次找到一个比最后一个还要大的值的时候直接加入后面，碰到比最后面小的数字的时候往里面找第一个比它小的数字，替换掉后面一个。（语文不好。。。直接看例子吧）

如2 5 3 4 9 7 8 10 很容易就能看出来它的LIS长度为6，最长的是 2 3 4 7 8 10。 

具体步骤如下，2进入；5比2大，进入；此时因为3比5小，往里找，2比3小，3替换掉5；4比3大，4进入；9比4大，9进入；7比9小，往前找，4比7小，7替换掉9；后面都直接进入，得到LIS序列2 3 4 7 8 10。

O(nlogn)的代码具体如下

#include <bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define pii pair<int,int>
#define vi vector<int>
#define vc vector<char>
#define mii map<int,int>
#define si(a) scanf("%d",&a)
#define ss(a) scanf("%s",&a)
#define sl(a) scanf("%I64d",&a);
#define slf(a) scanf("%lf",&a);
#define CLEAR(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pi acos(-1)

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=2e5+5;

typedef long long ll;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
int ans[N];
int num[N];

int main()
{
    fio;
    int n;
    cin>>n;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        cin>>num[i];
    ans[1]=num[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(num[i]>ans[len])
            ans[++len]=num[i];
        else
        {
            int pos=lower_bound(ans,ans+len,num[i])-ans;
            ans[pos]=num[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=len;i++)
    {
        cout<<ans[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
}


/*
8
2 5 3 4 9 7 8 10
*/