【数论】整数分块及详细证明

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一.复杂度证明

引理一:对于任意一个正整数(x),([frac{x}{d}](1leq dleq x))

的种类的数量在(sqrt{x})级

证明:将(d)分为小于等于(sqrt{x})与大于(sqrt{x})的两部分

1.当(dleqsqrt{x})时:

假设每个([frac{x}{d}])都不一样,最多也就(sqrt{x})个值

2.当(d>sqrt{x})时:

([frac{x}{d}]<sqrt{x})

∴([frac{x}{d}])的取值同样不超过(sqrt{x})个

∴个数在根号(x)级(不超过(2*sqrt{x}))

即,整数分块的复杂度为(O(sqrt{x}))

二.一堆引理及证明

引理二:对于所有使([frac{x}{i}]=C)的(i),其集合一定是一段连续的整数区间

证明:假设不是连续区间,则一定存在一个(l<t<r),

使得([frac{x}{l}]=[frac{x}{r}])且([frac{x}{l}] eq[frac{x}{t}])

∵(t>l)

∴([frac{x}{t}]<[frac{x}{l}])

∵(t<r)

∴([frac{x}{t}]>[frac{x}{r}])

∵([frac{x}{l}]=[frac{x}{r}])

∴假设不成立

∴所有使([frac{x}{i}]=C)的(i),其集合一定是一段连续的整数区间

引理三:对于所有使([frac{x}{i}]=C)的(i),如果其集合为([l,r]),那么我们只需要知道(l),就可以求出(C)和(r)

证明一:

∵([l,r])内所有的数都可以使([frac{x}{i}]=C)(定义)

∴(C=[frac{x}{l}])

小引理:(r=[frac{x}{[frac{x}{l}]}])

一.证明([frac{x}{A}]=C)

令(A=[frac{x}{[frac{x}{l}]}]=[frac{x}{C}])

所以(AC)可以表示为:

(AC=x-k(0<=k<A,C))

∴(A=frac{x-k}{C})

∴(frac{x}{A}=frac{Cx}{x-k}geqfrac{Cx}{x}=C)

假设(frac{x}{A}geq C+1)

∴(ACleq x-A)

∵(AC=x-k)

又∵(k<A)

∴假设不成立

∴(frac{x}{A}<C+1)

综上所述:(Cleq frac{x}{A}<C+1)

∴([frac{x}{A}]=C)

二.证明(A)为最大的使([frac{x}{i}]=C)成立的数

令(AC=x-k(0leq k<A,C))

假设(A)不是最大令([frac{x}{i}]=C)成立的数,由引理二知:

(A+1)一定可以使([frac{x}{i}]=C)

∴((A+1)*C=x-g(0leq g<A,C))

∴(AC+C=x-g)

又∵(AC=x-k)

∴(C=k-g)

∵(0leq k,g<C)

∴假设不成立

∴命题得证

综上所述:(A=[frac{x}{C}])是最大的令([frac{x}{i}]=C)成立的数

∴(A)满足r的所有性质

∴(r=A)即(r=[frac{x}{C}]=[frac{x}{[frac{x}{l}]}])

∴引理三得证

三.实现方法

由引理三知,我们只需要知道(l)就可以(O(1))算出区间([l,r])使得对于(forall iin [l,r])都有([frac{x}{i}]=[frac{x}{l}])且对于(forall i otin [l,r])都有([frac{x}{i}] eq[frac{x}{l}])

而,如果我们要枚举区间([L,R])的所有整数,那么第一个区间的(l)一定是(L)!

那么之后的区间呢?

不就是前一个区间的"(r)"加个一嘛!

∴我们就可以在(sqrt{x})枚举完整个区间了！

PS:一个区间的定义:具有一个范围[l,r],且满足对于(forall iin [l,r])都有([frac{x}{i}]=[frac{x}{l}])且对于(forall i otin [l,r])都有([frac{x}{i}] eq[frac{x}{l}])