树的直径与重心

树的直径与重心

直径

定义

树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。

性质

1. 直径两端点一定是两个叶子节点

2. 距离任意点最远的点一定是直径的一个端点，这个基于贪心求直径方法的正确性可以得出

3. 对于两棵树，如果第一棵树直径两端点为(u,v)，第二棵树直径两端点为(x,y)，用一条边将两棵树连接，那么新树的直径一定是u,v,x,y中的两个点.证明：如果新树直径不是原来两棵树中一棵的直径，那么新直径一定经过两棵树的连接边，新直径在原来每棵树中的部分一定是距离连接点最远的点，即一定是原树直径的一个端点。

4. 对于一棵树，如果在一个点的上接一个叶子节点，那么最多会改变直径的一个端点.证明：假设在xx下面接一个点yy，直径变成了(u,x),原树直径为(a,b)，那么(dis(u,x)>dis(a,b),dis(u,x)=dis(u,y)+1)，即(dis(u,y)+1>dis(a,b))，如果(dis(u,y) < dis(a,b))，
   那么显然不成立；如果(dis(u,y)=dis(a,b))，那么((u,y))也是原树的直径，符合上述结论。

5. 若一棵树存在多条直径，那么这些直径交于一点且交点是这些直径的中点

算法

两边dfs或者一遍树形dp

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define ll long long
#define rint register int
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
template<typename xxx>void read(xxx &x)
{
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x*=f;
}
template<typename xxx>void print(xxx x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int maxn=200020;
const int inf=0x7fffffff;
struct edge{
    int last,val,to;
}e[maxn];
int head[maxn],tot;
inline void add(int from,int to,int val)
{
    tot++;
    e[tot].to=to;
    e[tot].val=val;
    e[tot].last=head[from];
    head[from]=tot;
}
int vis[maxn];//整棵树的直径就是max{f[x]}(1 <= x <= n)
int d[maxn];//表示从节点x出发走向以x为根的子树，能够到达的最远节点的距离,d[x] = max{d[yi] + edge(x, yi)}(1 <= i <= t)
//int f[maxn];//经过节点x的最长链的长度"f[x]，f[x] = max{d[yi] + d[yj] + edge(x, yi) + edge(x, yj)}(1 <= j < i <= t),可被ans代替 
int ans,n,m;
inline void dp(int x)
{
    vis[x]=1;
    for(rint i=head[x];i;i=e[i].last)
    {
        if(vis[e[i].to]) continue;
        dp(e[i].to);
        ans=max(ans,d[x]+d[e[i].to]+e[i].val);
        d[x]=max(d[x],d[e[i].to]+e[i].val); 
    }
}
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(rint i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;char s[2];
        read(a);read(b);read(c);scanf("%s",s);
        add(a,b,c);add(b,a,c);
    }
    dp(1);
    print(ans);
}
/*
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define ll long long
#define rint register int
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
template<typename xxx>void read(xxx &x)
{
    x=0;int f=1;char c=getchar();
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
    x*=f;
}
template<typename xxx>void print(xxx x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int maxn=200020;
const int inf=0x7fffffff;
struct edge{
    int last,val,to;
}e[maxn];
int head[maxn],tot;
inline void add(int from,int to,int val)
{
    tot++;
    e[tot].to=to;
    e[tot].val=val;
    e[tot].last=head[from];
    head[from]=tot;
}
int vis[maxn];
int d[maxn],tmp,max_num;
int ans,n,m;
queue<int>q;
inline void bfs(int x)
{
    ans=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(d,0,sizeof(d));
    vis[x]=1;q.push(x);
    while(q.size())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(rint i=head[x];i;i=e[i].last)
        {
            if(!vis[e[i].to])
            {
                vis[e[i].to]=1;
                d[e[i].to]=d[x]+e[i].val;
                if(ans<d[e[i].to]) 
                {
                    ans=d[e[i].to];
                    tmp=e[i].to;
                }
                q.push(e[i].to);
            }
        }
    }
}  
inline void dfs(int x,int len)
{
    vis[x]=1;
    if(len>ans) ans=len,tmp=x;
    for(rint i=head[x];i;i=e[i].last)
        if(!vis[e[i].to]) dfs(e[i].to,len+e[i].val);
} 
int main()
{
    read(n);read(m);
    for(rint i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;char s[2];
        read(a);read(b);read(c);scanf("%s",s);
        add(a,b,c);add(b,a,c);
    }
    dfs(1,0);
    max_num=tmp;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    dfs(max_num,0);
    print(ans);
}
//两遍bfs或dfs 
*/

重心

定义

最大子树最小的节点

性质

性质1：“树中所有点到某个点的距离和中,到重心的距离和是最小的
性质2：把两棵树通过一条边相连,新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
性质3： 一棵树添加或者删除一个节点,树的重心最多只移动一条边的位置。
性质4： 一棵树最多有两个重心,且相邻。

算法

每次找到一个节点的最大子树更新ans，一个节点的子树包括指向的子树与减去当前节点子树后剩下的部分。

例题

Luogu-P1395

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <map>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rint register int
#define ll long long
using namespace std;
template <typename xxx> inline void read(xxx &x)
{
	int f = 1;x = 0;
	char c = getchar();
	for(; c < '0' || c > '9' ; c = getchar()) if(c=='-') f = -1;
	for(;'0' <= c && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
	x *= f;
}
template <typename xxx> inline void print(xxx x)
{
	if(x < 0) {
		putchar('-');
		x = -x;
	}
	if(x > 9) print(x/10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
const int inf = 0x7fffffff;
const int maxn = 100200;
const int mod = 2015;
struct edge{
	int to,last;
}e[maxn];
int head[maxn],tot;
inline void add(int from,int to) {
	++tot;
	e[tot].to = to;
	e[tot].last = head[from];
	head[from] = tot;
}	
int n,ans = inf,rt = 1;
int siz[maxn],dis[maxn];
inline void ddfs(int x,int fa){
	siz[x] = 1;int ret = 0;
	for(rint i = head[x]; i; i = e[i].last) {
		if(e[i].to == fa) continue;
		ddfs(e[i].to,x);
		siz[x] += siz[e[i].to];
		ret = max(ret,siz[e[i].to]);
	}
	ret = max(ret,n - siz[x]);
	if(ret < ans) {
		ans = ret;
		rt = x;
	}
	else if(ret == ans && rt > x) rt = x;
	return ;
}
inline void fk(int x,int fa) {
	dis[x] = dis[fa] + 1;
	for(rint i = head[x];i;i = e[i].last) {
		if(e[i].to == fa) continue;
		fk(e[i].to,x);
	}
}
int main()
{
	read(n);
	for(rint i = 2;i <= n; ++i) {
		int a,b;
		read(a);read(b);
		add(a,b);add(b,a);
	}
	dis[0] = -1;
	ddfs(1,0);fk(rt,0);
	int tem = 0;
	for(rint i = 1;i <= n; ++i) tem += dis[i];
	print(rt);putchar(' ');print(tem);
	return 0;
}