概率学习笔记

公式1-条件概率公式

[P(A|B) = frac{P(A∩B)}{P(B)} ]

P(A|B)表示条件B发生时条件A发生的概率。
举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T.
样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT）
设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH）
设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT）
求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。
解：P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3.

公式二-全概率公式

设事件B1,B2,B3..Bn是一个完备事件组(事件两两互斥且所有事件交集为全集，这些事件也被称作样本空间的划分)，则对于任意一个事件A，有如下公式成立：
P(A)= P(A|B1)P(B1)+ P(A|B2)P(B2)+ …+ P(A|Bn)P(Bn);
某一公司，有三个分厂，生产同一型号产品，其中一厂产量占30%，次品率为2%；二厂产量占50%，次品率为1%；三厂产量占20%，次品率为1%。求从这批产品中任取一件的次品概率为多少？
解：设A={任取一件为次品}；Bi{来自第i厂，其中i=1,2,3}
则B1,B2,B3为整个样本空间S的划分。
且P(B1)=0.3；占百分之30产量，则P(B2)=0.5；P(B3)=0.2.
而一、二、三厂次品率分别为2%、1%、1%。
即P（A|B1）=0.02、P（A|B2）=0.01、P（A|B3）=0.01
有全概率公式得
P(A)= P（A|B1）P(B1)+ P（A|B2）P(B2)+ P（A|B3）P(B3)
P(A)=(0.020.3)+(0.010.5)+(0.01*0.2)=0.013.
即任取一件的次品概率为0.013.

公式三-贝叶斯公式

真*贝叶斯公式 $P(Ai|B) = frac{P(B|Ai)P(Ai)}{sum_{j=1}^{n}P(Aj)P(B|Aj)} $
朴素贝叶斯公式 (P(A|B)=frac{P(B|A)*P(A)}{P(B)})

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