关于射线和三角形相交

本文转自：http://blog.csdn.net/xiaosaret/article/details/6698305

需要两个知识点:

1: 线性方程组和行列式(也可理解成矩阵) 克莱姆法则

2: 重心坐标系: P = uV0 + vV1 + wV (u,v,w)为中心坐标,P为焦点,  u≥0 v≥0 w≥0 且 u+v+w = 1

射线和三角形的相交检测是游戏程序设计中一个常见的问题，最典型的应用就是拾取(Picking)，本文介绍一个最常见的方法，这个方法也是DirectX中采用的方法，该方法速度快，而且存储空间少。先讲述理论，然后给出对应的代码实现。

理论部分

一个直观的方法

我想大多数人在看到这个问题时，可能都会想到一个简单而直观的方法：首先判断射线是否与三角形所在的平面相交，如果相交，再判断交点是否在三角形内。

判断射线是否与平面相交

判断点是否在三角形内

但是，上面的方法效率并不很高，因为需要一个额外的计算，那就是计算出三角形所在的平面，而下面要介绍的方法则可以省去这个计算。

本文的方法

接下来会涉及到一些数学知识，不过没关系，我会详细解释每一个步骤，不至于太晦涩，只要您不觉得烦就行了，好了开始！

射线的参数方程如下，其中O是射线的起点，D是射线的方向。

我们可以这样理解射线，一个点从起点O开始，沿着方向D移动任意长度，得到终点R，根据t值的不同，得到的R值也不同，所有这些不同的R值便构成了整条射线，比如下面的射线，起点是P0，方向是u，p0 + tu也就构成了整条射线。

三角形的参数方程如下，其中V0，V1和V2是三角形的三个点，u, v是V1和V2的权重，1-u-v是V0的权重，并且满足u>=0, v >= 0,u+v<=1。

确切的说，上面的方程是三角形及其内部所有点的方程，因为三角形内任意一点都可以理解为从顶点V0开始，沿着边V0V1移动一段距离，然后再沿着边V0V2移动一段距离，然后求他们的和向量。至于移动多大距离，就是由参数u和v控制的。

于是，求射线与三角形的交点也就变成了解下面这个方程-其中t,u,v是未知数，其他都是已知的

移项并整理，将t,u,v提取出来作为未知数，得到下面的线性方程组

现在开始解这个方程组，这里要用到两个知识点，一是克莱姆法则，二是向量的混合积。

令E1 = V1 - V0，E2 = V2 - V0，T = O - V0上式可以改写成

这个地方写的有点坑爹让哥看了好久才明白

我们把等式 变一下 –Dt + E1u + E2v = T

所以根据克莱姆法则就有:

D = [-D E1 E2]

因为: –D E1 E2都是向量所以这是一个3X3矩阵.

D1 = [T   E1 E2]

D2 = [-D  T  E2]

D3 = [-D  E1  T]

t u v结果就如下:

t =  D1 / D

u = D2 / D

v = D3 / D

所以就是下面的形式

根据克莱姆法则，可得到t,u,v的解分别是

将这三个解联合起来写就是

根据混合积公式

上式可以改写成

令

得到最终的公式，这便是下面代码中用到的最终公式了，之所以提炼出P和Q是为了避免重复计算

代码部分

理论部分阐述完毕，开始上代码，这份代码来自DirectX SDK中的Demo，名字叫做Picking(拾取)，该函数位于文件Pick.cpp的最末尾。这个函数有一个特点，就是判断语句特别多，因为对于一个频繁被调用的函数来说，效率是最重要的，这么多判断就是为了在某个条件不满足时，及时返回，避免后续不必要的计算。

// Determine whether a ray intersect with a triangle
// Parameters
// orig: origin of the ray
// dir: direction of the ray
// v0, v1, v2: vertices of triangle
// t(out): weight of the intersection for the ray
// u(out), v(out): barycentric coordinate of intersection
bool IntersectTriangle(const Vector3& orig, const Vector3& dir,
                        Vector3& v0, Vector3& v1, Vector3& v2,
                        float* t, float* u, float* v)
 {
     // E1
     Vector3 E1 = v1 - v0;

    // E2
     Vector3 E2 = v2 - v0;

     // P
     Vector3 P = dir.Cross(E2);

     // determinant
     float det = E1.Dot(P);

     // keep det > 0, modify T accordingly
     Vector3 T;
     if( det > 0 )
     {
         T = orig - v0;
     }
     else
     {
         T = v0 - orig;
         det = -det;
     }

     // If determinant is near zero, ray lies in plane of triangle
     if( det < 0.0001f )
         return false;

     // Calculate u and make sure u <= 1
     *u = T.Dot(P);
     if( *u < 0.0f || *u > det )
         return false;

    // Q
     Vector3 Q = T.Cross(E1);

     // Calculate v and make sure u + v <= 1
     *v = dir.Dot(Q);
     if( *v < 0.0f || *u + *v > det )
         return false;

     // Calculate t, scale parameters, ray intersects triangle
    *t = E2.Dot(Q);

     float fInvDet = 1.0f / det;
     *t *= fInvDet;
     *u *= fInvDet;
     *v *= fInvDet;

     return true;
 }

参数说明

输入参数：前两个参数orig和dir是射线的起点和方向，中间三个参数v0，v1和v2是三角形的三个顶点。

输出参数：t是交点对应的射线方程中的t值，u，v则是交点的纹理坐标值

代码说明

变量的命名方式：为了方便阅读，代码中的变量命名与上面公式中的变量保持一致，如E1，E2，T等。

变量det表示矩阵的行列式值

26-33行用来确保det>0，如果det<0则令det = -det，并对T做相应的调整，这样做是为了方便后续计算，否则的话需要分别处理det>0和det<0两种情况。

第37行，注意浮点数和0的比较，一般不用 == 0的方式，而是给定一个Epsilon值，并与这个值比较。

第42行，这里实际上u还没有计算完毕，此时的值是Dot(P,T)，如果Dot(P,T) > det, 那么u > 1，无交点。

第50行，要确保u + v <= 1，也即 [Dot(P,T) + Dot(Q, D)] / det 必须不能大于1，否则无交点。

第56-59行，走到这里时，表明前面的条件都已经满足，开始计算t, u, v的最终值。

交点坐标

根据上面代码求出的t,u,v的值，交点的最终坐标可以用下面两种方法计算

O + Dt

(1 - u - v)V0 + uV1 + vV2

后记

在本文开头已经说了，射线和三角形的相交检测最典型的应用就是拾取，比如在一个三维场景中用鼠标选择某个物体。那么拾取是如何实现的呢？我们知道在物体的三维模型表示中，三角形是最小的几何图元，最小意味着不可再分，也就是说任何模型，无论它多么复杂，都可以由若干个三角形组合而成。拾取过程实际是判断拾取射线是否与模型相交，而这又可以转化为-只要射线与模型中的任何一个三角形相交即可。下面是模型的线框表示法，可见如果想要判断某条射线是否与这个茶壶相交，只要判断该射线是否与茶壶模型中某个三角形相交即可。

需要注意的是，虽然射线和三角形的相交检测可以用来实现拾取，但是大多数程序并不采用这个方法，原因是这个方法效率很低，我们可以设想，一个大型的3D在线游戏，它的模型数量以及复杂程度都是很高的，如果用这种方法来判断，需要对模型中每个三角形都做一次判断，效率极其低下，一种可行的方案是，用包围球或者包围盒来代替，计算出能容纳模型的最小球体或者矩形体，只要判断出射线与包围球或者包围盒相交，我们就认为射线与模型相交，这样效率会显著提高，只是精确度上会有一定误差，但是足以满足多数程序的需要。