线段树——hyl天梦

1简介

线段树是一种比较实用的数据结构，支持区间修改，区间查询，单点修改，单点查询，维护区间最值。

2讲解

2.1基本值

（注：本博客只是设计线段树区间求和）
在结构体中我们维护一个区间值，区间长度，和该节点的标记

这个标记非常重要，是线段树的灵魂

代码：

	struct node{
		ll sum,len;
		ll ad;
	};

2.2建树

对于一个数组a来说，把它l到r的一个区间看做一个节点，根节点的区间是l到r，根节点两个儿子的区间分别为l到mid，和mid+1到r，其中mid=l+r>>1；由此不断往下递归，直至该区间内只剩一个节点。
上述说明不仅说明了线段树的构造原理，也可以得出线段树的建树代码：

inline void build(ll k,ll l,ll r)
{
	if(l==r)
	{
		tree[k].len=1;
		tree[k].sum=a[l];
		return;
	}
	ll mid=l+r>>1;
	build(k*2,l,mid);
	build(k*2+1,mid+1,r);
	pushup(k);
}

其中pushup函数是合并函数，根据代码，我们可以知道在建树中，是首先建立叶子结点，然后逐步回溯，合并，建立父节点，那么就有了合并函数。

2.3合并函数

合并函数比较好理解，一个节点对应一个区间，那么这个区间l到r我们所要维护的值一定取决于它的两个儿子，例如，如果我们所维护的是l到r的和，那么该节点所维护的l到r的区间和一定是它的两个儿子：l到mid和mid+1到r的和，长度也是如此，由此可以得出：

	inline void pushup(ll k)
	{
		tree[k].sum=tree[k*2].sum+tree[k*2+1].sum;
		tree[k].len=tree[k*2].len+tree[k*2+1].len;
	}

2.4加法函数与标记下传

如果要给一个区间和为q，区间长度为len的区间进行把区间里的每个数都加x的操作，那么就是相当于整个区间的和加上x*len：

	inline void A(ll k,ll x)
	{
		tree[k].sum+=tree[k].len*x;
		tree[k].ad+=x;
	}

但是我们并没有修改这个区间的每一个数，如果我们需要用到这个区间里的某些数但是又不是全部，这个时候因为我们个这个区间的标记加上了x，也就是说我们标记l到r的区间加上了x，接下来我们要做的就是让标记下传，把标记传给该节点的两个儿子，同时更新它的两个儿子所维护的区间和与标记，这样，我们需要用到什么程度就标记下传的什么程度，一边修改一边标记下传。
这就体现出了为什么线段树的时间复杂度更优：我们需要修改l到r的区间和就只看l到r的区间和，而不用给l到r的每一个值都进行修改，如果有需要用到一些更小的区间，那么标记下传
标记下传同时，不要忘了清零该节点标记：

	inline void pushdown(ll k)
	{
		A(k*2,tree[k].ad);
		A(k*2+1,tree[k].ad);
		tree[k].ad=0;
	}

2.5区间更改

如果让我们修改的区间已经查到了，就执行加法操作，如果没有，就看他的左右儿子，同时标记下传，最后不要忘记合并
有时我们所要修改的区间包含在多个线段树节点中，我们分治来考虑，如果mid把我们的目标区间分成两段，那就分别来处理
下面的代码中：z到y指的是目标区间，l到r指的是当前区间，k指的是当前区间所对应的线段树节点，x指的是要给区间修改的值

	inline void change(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y,ll x)
	{
		if(l==z&&r==y)
		{
			A(k,x);
			return;
		}
		if(tree[k].ad) pushdown(k);
		ll mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) change(k*2,l,mid,z,y,x);
		else if(z>=mid+1) change(k*2+1,mid+1,r,z,y,x);
		else change(k*2,l,mid,z,mid,x),change(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y,x);
		pushup(k);
	}

2.6区间查询

区间查询的思路与2.5差不多，基本上还是一个分治的思想，同时别忘了标记下传：

	inline ll ask_sum(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y)
	{
		if(l==z&&r==y) return tree[k].sum;
		if(tree[k].ad) pushdown(k);
		ll mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) return ask_sum(k*2,l,mid,z,y);
		else if(z>=mid+1) return ask_sum(k*2+1,mid+1,r,z,y);
		else return ask_sum(k*2,l,mid,z,mid)+ask_sum(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
	}

总结

以上就是线段树大致内容，博主讲的说实话并不是很好，希望多多谅解，如果有不清楚的地方可以在评论区里提问。这里附上总代码，该代码可以过洛谷上的线段树模板1
本博客只是介绍了区间加法，实际上区间加减乘除，最值，线段树都可以维护。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<map>
#include<vector>
#include<set>
#include<deque>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#define dd double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define N 1000100
#define M number
using namespace std;

ll n,m,a[N];

struct Stree{
	
	struct node{
		ll sum,len;
		ll ad;
	};
	
	node tree[N<<4];

	inline void A(ll k,ll x)
	{
		tree[k].sum+=tree[k].len*x;
		tree[k].ad+=x;
	}

	inline void pushdown(ll k)
	{
		A(k*2,tree[k].ad);
		A(k*2+1,tree[k].ad);
		tree[k].ad=0;
	}
	
	inline void pushup(ll k)
	{
		tree[k].sum=tree[k*2].sum+tree[k*2+1].sum;
		tree[k].len=tree[k*2].len+tree[k*2+1].len;
	}
	
	inline void build(ll k,ll l,ll r)
	{
		if(l==r)
		{
			tree[k].len=1;
			tree[k].sum=a[l];
			return;
		}
		ll mid=l+r>>1;
		build(k*2,l,mid);
		build(k*2+1,mid+1,r);
		pushup(k);
	}
	
	inline void change(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y,ll x)
	{
		if(l==z&&r==y)
		{
			A(k,x);
			return;
		}
		if(tree[k].ad) pushdown(k);
		ll mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) change(k*2,l,mid,z,y,x);
		else if(z>=mid+1) change(k*2+1,mid+1,r,z,y,x);
		else change(k*2,l,mid,z,mid,x),change(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y,x);
		pushup(k);
	}
	
	inline ll ask_sum(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y)
	{
		if(l==z&&r==y) return tree[k].sum;
		if(tree[k].ad) pushdown(k);
		ll mid=l+r>>1;
		if(y<=mid) return ask_sum(k*2,l,mid,z,y);
		else if(z>=mid+1) return ask_sum(k*2+1,mid+1,r,z,y);
		else return ask_sum(k*2,l,mid,z,mid)+ask_sum(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y);
	}
};

Stree stree;

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
	stree.build(1,1,n);
	
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int op,l,r;
		scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
		if(op==1)
		{
			ll x;
			scanf("%lld",&x);
			stree.change(1,1,n,l,r,x);
		}
		else printf("%lld
",stree.ask_sum(1,1,n,l,r));
	}
}

线段树2代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<sstream>
#include<queue>
#include<vector>
#define N 1000010
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,p;
ll sum[N<<2],len[N<<2],a[N],ad_1[N<<2],ad_2[N<<2];

void pushup(ll k)
{
	sum[k]=(sum[k*2]+sum[k*2+1])%p;
	len[k]=len[k*2]+len[k*2+1];
}

void A(ll k,ll x)
{
	sum[k]=(x*sum[k])%p;
	ad_1[k]=(ad_1[k]*x)%p;
	ad_2[k]=(ad_2[k]*x)%p;
	if(ad_1[k]==0) ad_1[k]=p;
}

void B(ll k,ll x)
{
	sum[k]=(sum[k]+(len[k]*x)%p)%p;
	ad_2[k]=(ad_2[k]+x)%p;
}

void pushdown_2(ll k)
{
	B(k*2,ad_2[k]);
	B(k*2+1,ad_2[k]);
	ad_2[k]=0;
}

void pushdown_1(ll k)
{
	A(k*2,ad_1[k]);
	A(k*2+1,ad_1[k]);
	ad_1[k]=1;
}

void change_1(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y,ll x)
{
	if(l==z&&r==y)
	{
		A(k,x);
		return;
	}
	if(ad_1[k]>1) pushdown_1(k);
	if(ad_2[k]) pushdown_2(k);
	ll mid=l+r>>1;
	if(y<=mid) change_1(k*2,l,mid,z,y,x);
	else if(mid<z) change_1(k*2+1,mid+1,r,z,y,x);
	else
	{
		change_1(k*2,l,mid,z,mid,x);
		change_1(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y,x);
	}
	pushup(k);
}

int ask_sum(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y)
{
	if(l==z&&r==y)
	{
		return sum[k];
	}
	if(ad_1[k]>1) pushdown_1(k);
	if(ad_2[k]) pushdown_2(k);
	ll mid=l+r>>1;
	if(y<=mid) return ask_sum(k*2,l,mid,z,y);
	else if(mid<z) return ask_sum(k*2+1,mid+1,r,z,y);
	else return (ask_sum(k*2,l,mid,z,mid)%p+ask_sum(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y)%p)%p;
}

void change_2(ll k,ll l,ll r,ll z,ll y,ll x)
{
	if(l==z&&r==y)
	{
		B(k,x);
		return;
	}
	if(ad_1[k]>1) pushdown_1(k);
	if(ad_2[k]) pushdown_2(k);
	ll mid=l+r>>1;
	if(y<=mid) change_2(k*2,l,mid,z,y,x);
	else if(mid<z) change_2(k*2+1,mid+1,r,z,y,x);
	else
	{
		change_2(k*2,l,mid,z,mid,x);
		change_2(k*2+1,mid+1,r,mid+1,y,x);
	}
	pushup(k);
}

void build(ll k,ll l,ll r)
{
	ad_1[k]=1;
	if(l==r)
	{
		sum[k]=a[l];
		len[k]=1;
		return;
	}
	ll mid=l+r>>1;
	build(k*2,l,mid);
	build(k*2+1,mid+1,r);
	pushup(k);
}


void print()
{
	cout<<endl<<endl;
	int i=0;
	do
	{
		cout<<sum[++i]<<" ";
	}while(sum[i]);
	cout<<endl<<endl;
}


int main()
{
//	freopen("he.in","r",stdin);
//	freopen("he.out","w",stdout);
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin>>n>>m>>p;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	build(1,1,n);
	//print();
	
	while(m--)
	{
		int op,a,b,x;
		cin>>op>>a>>b;
		if(op==1)
		{
			cin>>x;
			change_1(1,1,n,a,b,x);
			//print();
		}
		else if(op==2)
		{
			cin>>x;
			change_2(1,1,n,a,b,x);
			//print();
		}
		else
		{
			int ans=ask_sum(1,1,n,a,b);
			cout/*<<"ans="*/<<ans<<endl;
			//print();
		}
	}
	return 0;
}