数论相关总结

参考链接
数论符号以及函数模板:
符号:
(连加:) (sum_{i=1}^{n} i)
(连乘:) (prod_{i=1}^{n} i)
(整除：（p为q的因子）p|q)
(函数)
积性函数：
(积性函数指对于所有互质的整数a和b有性质f(a*b)=f(a)*f(b)的数论函数)
φ(n) －欧拉函数
μ(n) －莫比乌斯函数，关于非平方数的质因子数目
gcd(n,k) －最大公因子，当k固定的情况
d(n) －n的正因子数目
σ(n) －n的所有正因子之和
σk(n) － 因子函数，n的所有正因子的k次幂之和，当中k可为任何复数。
1(n) －不变的函数，定义为 1(n) = 1 （完全积性）
Id(n) －单位函数，定义为 Id(n) = n（完全积性）
Idk(n) －幂函数，对于任何复数、实数k，定义为Idk(n) = n^k （完全积性）
ε(n) －定义为：若n = 1，ε(n)=1；若 n > 1，ε(n)=0。别称为“对于狄利克雷卷积的乘法单位”（完全积性）
λ(n) －刘维尔函数，关于能整除n的质因子的数目
γ(n)，定义为γ(n)=(-1)^ω(n)，在此加性函数ω(n)是不同能整除n的质数的数目
性质：
(由唯一分解定理：n = p_1^{a_1}*p_2^{a_2}...*p_i^{a_i})
((1)：f(n)=fleft(p_{1}^{a_{1}} ight) fleft(p_{2}^{a_{2}} ight) ldots fleft(p_{n}^{a_{n}} ight))
((2)：fleft(p^{n} ight)=f^{n}(p))

常见的狄利克雷卷积：
(狄利克雷卷积运算：(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) gleft(frac{n}{d} ight))
(性质： 交换律：f∗g=g∗f 结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h) 分配率：f∗(g+h)=f∗g+f∗h 单位元：f∗e=e∗f 若f,g 均为积性函数，则f∗g也为积性函数)
(d(n)=sum_{d | n} 1 mathbb{即} d=1 * 1)
(sigma(n)=sum_{d | n} d mathbb{即} | sigma=d * 1)
(varphi(n)=sum_{d | n} mu(d) frac{n}{d} mathbb{即} varphi=mu * I d)
(sum_{d | n} varphi(d) frac{n}{d} mathbb等于p^{q-1}*(p+(p-1)*q) 其中设n=p^q:对于n=p_1^q_1*p_2^q_2...利用积性函数性质相乘即可)

欧拉函数：
(欧拉函数通式：) (varphi(n)=n * prod_{i=1}^{k}left(1-frac{1}{p_{i}} ight))
(性质：若n时质数p的k次幂则：varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}=(p-1) p^{k-1}，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质)
(积性函数:varphi(nm)=varphi(n) imesvarphi(m))
(n为奇质数时:varphi(2n)=varphi(n))
(n为质数时:varphi(n)=n-1)
(与欧拉定理、费马小定理的关系)
(对任何两个互质的正整数a, m(m>=2)有：a^{varphi(p)} equiv 1 quad(mod p))

(Möbius function(莫比乌斯函数)：mu(d)=(-1)^{k})
(mu(n)=left{egin{array}{l}{1}，space若n等于1 \ {(-1)^{k}} ，若n无平方数因数且n=p1​∗p2​⋅⋅⋅pk\ {0}，若n有平方因数end{array} ight.)

(Dirichlet product(狄利克雷卷积) ，(f * g)(n)=sum_{d | n} f(d) * gleft(frac{n}{d} ight))

(莫比乌斯反演:f(n)=sum_{d | n} g(d))

(杜教筛：已知数论函数f(n)，现在要求S(n)=sum_{i=1}^{n} f(i))