扩展欧几里得

1. 原理：
   已知a, b，求解一组x，y，使它们满足不等式： ax+by =gcd(a, b)
   

   假设 a>b,

   (1)  b=0  gcd(a,b) = a ,  ax = a ,  则x=1，y=0;

   (2) 假设 ax1+by1=gcd(a,b) (方程一) bx2+(a%b)y2=gcd(b,a%b)（方程二）;由欧几里得算法gcd(a,b) =gcd(b,a%b) 得到，

   ax1+by1 = bx2+(a%b)y2，即ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2 ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

   在根据多项式恒等定理（把a,b看成变量），x1=y2; y1=x2-a/b*y2;
   
   由于需要有 x2,y2 求得 x1,y1 因此容易想到使用递归求解，出口条件就是 （1）条件

2. 代码：

void extend_gcd(ll a, ll b, ll &gcd, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        gcd = a;
        x = 1;
        y = 0;
    } else {
        extend_gcd(b, a % b, gcd, x, y);
        int x2 = x, y2 = y;
        x = y2;
        y = x2 - (a / b) * y2;
    }
}

//ax + by = gcd(a,b)
//gcd 保存了 a,b 的最大公约数
void ext_gcd(ll a, ll b, ll &gcd, ll &x, ll &y) {
    if (!b) { gcd=a; x=1; y=0; }
    else { ext_gcd(b,a%b,gcd,y,x); y-=(a/b)*x; }
    // 理解上面这个这句话就用上面的 extend_gcd 来理解，主要是使用了引用的概念
    // 并且 ext_gcd 在 y-=(a/b)*x 上面，也就是说 ext_gcd 参数中的 x,y 都是
    // 下一层函数返回的 x2, y2
    // 然后使用 y-=(a/b)*x 处理一下本层函数 y1 即可
}