题目简述：对任意两个（正）十进制数$a = overline{a_{k-1}dots a_1a_0}$和$b = overline{b_{k-1}dots b_1b_0}$，定义其【十进制按位加法（Decimal digit-wise addition）】$c = a oplus b = overline{c_{k-1}dots c_1c_0}$，其中$c_i = (a_i+b_i) mod 10$。给定$1 leq n leq 10^5$个正整数$0 leq x_i < 10^5$，对每个$0 leq k < n$，求有多少个下标序列$1 leq i_1, i_2, dots, i_n leq n$，使得
$$igoplus_{j=1}^n x_{i_j} = k. $$
答案$mod 2^{58}$。
解：
建模：
设$a_k$表示$k$在$x_1, x_2, dots, x_n$中出现的次数，定义母函数（Generating function）
$$ a(x) = a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + dots + a_{N-1}x^{N-1}, $$
其中$N = 10^5$。
定义【按位卷积（Digit-wise convolution）】
$$ (a odot b) (x) = a(x) odot b(x) = sum_{i=0}^{N-1} sum_{j=0}^{N-1} a_i b_j x^{i oplus j}. $$
若记$a^{odot m} = a^{odot (m-1)} odot a$且$a^{odot 1} = a$，则对每个$0 leq k < n$，$a^{odot n}(x)$中$x^k$的系数即为所求。
记进制$B = 10$。实际上，$a odot b$是一个$d = log_B N = 5$维卷积。
多维广义离散傅里叶变换（Multidimensional general discrete Fourier transform）：
设$R$是环（Ring），正整数$n geq 1$，称$omega$是$R$的主$n$次单位根（Principal $n$-th root of unity），若
$$ egin{aligned} & omega^n = 1, \ & sum_{j=0}^{n-1} omega^{jk} = 0 ext{ for } 1 leq k < n. end{aligned} $$
特别地，若$R$是整环（Integral domain），则第二个条件可以简化为$omega^{k} eq 1$对$1 leq k < n$。
记模$n$剩余类环为$mathbb{Z}_{n} = mathbb{Z}/nmathbb{Z}$。令$a: mathbb{Z}_{n} o R$，或记作多项式
$$ a(x) = a_0x^0 + a_1x^1 + dots + a_{n-1}x^{n-1}. $$
定义傅里叶变换将$a$变换成$b = mathcal{F}(a)$为
$$ b_k = sum_{j=0}^{n-1} omega^{jk} a_j. $$
若$n = underbrace{1+1+dots+1}_{n} in R$且$n^{-1}$在$R$中存在，则傅里叶变换的逆变换$a = mathcal{F}^{-1}(b)$为
$$ a_j = n^{-1} sum_{k=0}^{n-1} omega^{-jk} b_k. $$
当$n^{-1}$不存在时，可退而求其次有$na = mathcal{F}^*(b)$为
$$ na_j = sum_{k=0}^{n-1} omega^{-jk} b_k. $$
设$R_1, R_2, dots, R_d$均是环，$omega_1, omega_2, dots, omega_d$依次是$R_1, R_2, dots, R_d$的主$n_1, n_2, dots, n_d$次单位根。
令$a: mathbb{Z}_{n_1} imes mathbb{Z}_{n_2} imes dots imes mathbb{Z}_{n_d} o R$，或者记作多项式
$$ a(x_1, x_2, dots, x_n) = sum_{i_1=0}^{n_1-1} dots sum_{i_d=0}^{n_d-1} a_{i_1, i_2, dots, i_d} x_1^{i_1} dots x_d^{i_d}. $$
定义傅里叶变换将$a$变换成$b = mathcal{F}(a)$为
$$ b_{k_1, k_2, dots, k_d} = sum_{j_1 = 0}^{n_1-1} dots sum_{j_d = 0}^{n_d-1} omega_1^{j_1k_1} dots omega_d^{j_dk_d} a_{j_1,j_2,dots,j_d}. $$
其逆变换为
$$ a_{j_1,j_2,dots,j_d} = n_1^{-1} n_2^{-1} dots n_d^{-1} sum_{k_1 = 0}^{n_1-1} dots sum_{k_d = 0}^{n_d-1} omega_1^{-j_1k_1} dots omega_d^{-j_dk_d} b_{k_1, k_2, dots, k_d}. $$
性质：
$$ mathcal{F}(a) cdot mathcal{F}(b) = mathcal{F}(a odot b), $$
其中$(x cdot y)(k) = x(k) cdot y(k)$。进而
$$ mathcal{F}^{-1}((mathcal{F}(a))^m) = a^{odot m}, $$
其中$x^m = x^{m-1} cdot x$且$x^1 = x$。
在本题中，$n_1 = n_2 = dots = n_d = B$。
环$R$的选取：
一般取复数域$R = mathbb{C}$，则$omega = exp left( frac {2i pi} n ight)$。但此题要求模$2^{58}$，浮点数精度不足以支撑（一般只能支持$a_j sim 10^5$的情况）。为此，我们需要另外的环。我们引入分圆多项式（Cyclotomic polynomial），$n$阶分圆多项式定义为
$$ Phi_n(x) = prod_{1 leq k leq n, gcd(k, n) = 1} left( x - expleft(frac{2i pi k}{n} ight) ight). $$
特别地，
$$ Phi_{10}(x) = x^4-x^3+x^2-x+1. $$
定理：
$$ mathbb{Z}[x]/(Phi_n(x)) simeq mathbb{Z}[omega_n], $$
其中$omega_n = exp left( frac {2ipi} {n} ight)$。注意到，$x$是$mathbb{Z}[x]/(Phi_n(x))$的主$n$次单位根。
为将答案模$2^{58}$，我们取$R = mathbb{Z}_{2^{64}}[x]/Phi_{10}(x)$，但此环中$N = 10^5$的逆，即$N^{-1}$，不存在，故只能有
$$ mathcal{F}^*left(left(mathcal{F}(a) ight)^{m} ight) equiv N a^{odot m} pmod {2^{64}}. $$
于是，最后剩下一个数论问题：已知$y = 10^5 x mod 2^{64}$，其中$x in mathbb{Z}$，求$x mod 2^{58}$。
注意到必有$2^5 | y$，令$z = frac y {2^5}$，则$z equiv 5^5 x pmod {2^{58}}$。
又$gcd(5^5, 2^{58}) = 1$，故$(5^5)^{-1} equiv (5^5)^{phi(2^{58})-1} pmod {2^{58}}$，其中$phi(cdot)$是欧拉函数（Euler's totient function）。
进而，$x equiv (5^5)^{-1} z pmod {2^{58}}$。
时间复杂度：
$O(D^2 B N log_B N+D^2 N log n)$，其中$D = operatorname{deg} Phi_B(x) = 4$。
解2：
可取$mathbb{Z}[x]/(Phi_5(x))$，其中$Phi_5(x) = x^4+x^3+x^2+x+1$，且$-x$是主$10$次单位根。
在计算$omega^{jk} a_j$时，朴素多项式乘法需要$O(D^2)$复杂度。为了降低复杂度，我们取$R = mathbb{Z}[x]/(x^5-1)$，而$mathbb{Z}[x]/(Phi_5(x))$作为其子环。
这时，在$mathbb{Z}[x]/(x^5-1)$中计算$omega^{jk} a_j$，可在$O(D)$的复杂度内完成。
从而总时间复杂度为$O(D B N log_B N + D^2 N log n)$，其中$D = operatorname{deg} (x^5-1) = 5$。