@bzoj

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设 S(n, m) 为满足 m mod k + n mod k >= k 的所有整数 k 组成的集合。求：

[phi(n) imes phi(m) imes sum_{kin S(n, m)}phi(k) mod 998244353 ]

原题传送门。

@solution@

对不起，我没学过数论.jpg。

两种方法。一种是猜想它有规律，打表发现原式为 (phi(n) imes phi(m) imes n imes m)。

另一种采用严谨推导。首先 mod 不好办，转成向下取整：

[m - lfloor frac{m}{k} floor k + n - lfloor frac{n}{k} floor k geq k\ lfloorfrac{n+m}{k} floor - lfloor frac{m}{k} floor - lfloor frac{n}{k} floor geq 1 ]

又因为显然有 (lfloorfrac{n+m}{k} floor - lfloor frac{m}{k} floor - lfloor frac{n}{k} floor = 0 或 1)，所以 (lfloorfrac{n+m}{k} floor - lfloor frac{m}{k} floor - lfloor frac{n}{k} floor = 1)。

代回去推导：

[sum_{kin S(n, m)}phi(k) = sum(lfloorfrac{n+m}{k} floor - lfloor frac{m}{k} floor - lfloor frac{n}{k} floor)phi(k)\ = sumlfloorfrac{n+m}{k} floorphi(k) - sumlfloorfrac{n}{k} floorphi(k) - sumlfloorfrac{m}{k} floorphi(k) ]

考虑 (sumlfloorfrac{n}{k} floorphi(k) = sum_{k=1}^{n}(phi * I)(k) = sum_{k=1}^{n}k = frac{n(n +1)}{2})（一个有关 (phi) 的经典狄利克雷卷积式）。

那么代回去直接得到结果为 (n imes m)，因此打表出来的结论正确。

@accepted code@

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MOD = 998244353;

typedef long long ll;

ll phi(ll n) {
	ll ret = 1; int p = sqrt(n);
	for(int i=2;i<=p;i++)
		if( n % i == 0 ) {
			ret *= (i - 1), n /= i;
			while( n % i == 0 )
				ret *= i, n /= i;
		}
	if( n != 1 ) ret *= (n - 1);
	return ret;
}

int main() {
	ll N, M; scanf("%lld%lld", &N, &M);
	int A = 1LL * (phi(N) % MOD) * (phi(M) % MOD) % MOD;
	int B = 1LL * (N % MOD) * (M % MOD) % MOD;
	printf("%lld
", 1LL * A * B % MOD);
}

@details@

话说这个优美的式子，有啥组合/数论意义吗？