会把之前的 ZJOI 题解（陆续更新） + 新的 ZJOI 题解整合在一起。
水平有限，所以仅有一部分题解。
从 ZJOI2016 开始，之前的题如果有时间再补上吧。
题目在 uoj/loj 上都可以找到。
「ZJOI2016」旅行者
网格图分治，每次选 (n, m) 中较大的进行分割。
对于跨越分割线的询问，枚举分割线上的点求最短路。
记 (S = n imes m)，复杂度 (O(Ssqrt{S}log S))。
「ZJOI2016」小星星
记 (f_{x,i,s}) 表示把 (x) 映到 (i) 上，子树内所有映到 (s) 上的方案数，复杂度 (O(n^2 imes 3^n))。
发现是子集卷积，考虑对占位多项式 (g_{x,i,t,s} = [popcount(s)=t] imes f_{x,i,s}) 进行 fwt，中途不需要反演回来，复杂度 (O(n^4 imes 2^n))。
注意到对于某一个 (x)，只有当 (t = size(x)) 时 (g_{x,i,t,s}) 才有值，所以可以省掉一维，复杂度 (O(n^3 imes 2^n))。
用容斥可以推得类似的做法。
「ZJOI2016」大森林
将树的序列看作时间轴，从左往后扫描，在 (l) 处加入操作，在 (r + 1) 处弹掉操作。
可以通过简单转化保证操作 1 对应的树全部含点 (x)，那么 0 操作的区间不再重要。
考虑操作 1 对应的修改，即将一些点的父亲全部修改为某个点，可以通过建虚点 + lct 完成这一操作。
注意询问不能直接查路径上的实点数量。
「ZJOI2016」线段树
记 (dp(i,l,r,x)) 表示第 (i) 次操作以后，(a'_{ldots r}leq x) 且 (a_{l-1}>x,a_{r+1}>x) 的概率。即 (leq x) 的极长区间。
注意到转移时 (x) 并没有影响，(x) 只影响初态 (dp(0,l,r,x))。
且已知 (dp) 后求答案只需要 (sum_{x}dp(q,l,r,x)) 和 (dp(q,l,r,max{a_i}))，因此可以去掉 (x) 这一维。
时间复杂度 (O(n^3))。
「ZJOI2017」仙人掌
可以将问题转化成 “树上不交链划分”，这里的不交指没有公共边。
考虑求出每个点 (x) 的贡献，发现只与 (x) 的度数 (deg(x)) 有关，记作 (f_{deg(x)})。
预处理 (f) 即可。
「ZJOI2017」树状数组
正常做只有当 (xleq y) 时 (x o y) 产生贡献，反着做即 (xgeq y) 时 (x o y) 产生贡献，即后缀和（注意特判 (0)）。
那么等价于查询 (A_{l-1} = A_r) 的概率，树套树即可（再次强调，注意特判 (l=1)）。
「ZJOI2017」线段树
询问可以拆成两条链 (l o lca) 与 (r o lca)。可以考虑使用倍增找到询问点 (u) 的位置，并维护 “被定位的点” 的信息。
「ZJOI2018」历史
考虑每个点 (x) 的贡献，记 (sum_x=sum_{yin subtree(x)}a_y)，只需要判断是否存在一棵子树的 (sum_{ch} > frac{sum_x}{2})（或者 (a_x > frac{sum_x}{2})）。
注意到所有点的上界可以同时取到，因此这就是答案。那么只需要动态维护每个点满足 (sum_{ch} > frac{sum_x}{2}) 的重儿子 (ch) 即可。
考虑像 lct 一样每条重链用一棵平衡树维护，此时内层 splay 森林的复杂度分析一样，轻重边切换的复杂度分析需要稍微改改，还是可以证得 (O(nlog n)) 的复杂度。
（这个思路还可以用于动态维护重链剖分，即今年北大集训的 D3T3）。
「ZJOI2018」胖
考虑二分每个点 (x) 所能更新的区间 ([l_x, r_x]) 对应的 (l_x, r_x)。
需要找到 “能在 (x) 到达之前到达二分点 (mid) 的 (y)，距离 (mid) 的最短距离”，可以预处理 st 表 + 二分查找。
时间复杂度 (O(nlog^2n))，此处认为 (n, sum K) 同阶。注意点的贡献不要算重。
本题存在 (O(nlog n)) 的做法，详见 https://blog.csdn.net/zxin__/article/details/82925838。
「ZJOI2019」线段树
考虑 dp：定义 (dp(0/1, 0/1, x)) 表示 x 的祖先结点是否有 tag，x 本身是否有 tag，这 4 种情况分别对应的方案数。
观察 dp 的转移，发现只有线段树上单点修改/子树修改，单点询问/子树询问。
直接维护一下线段树上的 单点 dp 值/转移矩阵 与 子树 dp 值/转移矩阵 即可。
时间复杂度 (O(nlog n))。
「ZJOI2019」Minimax 搜索
记根对应权值为 (rt)，尝试求出 (max_{iin S}|i-w_i|leq k) 的集合数。首先特判集合中包含 (rt) 的情况。
给定 (k)，可以求出每个 (> rt) 的叶子是否可以 (< rt)，每个 (<rt) 的叶子是否可以 (> rt)。
记 (f(x)) 表示只把 (> rt) 的改小使 (w_x) 变小的集合数，记 (g(x)) 表示只把 (< rt) 的改大使 (w_x) 变大的集合数，可以 dp。
发现每一个 (k) 都要重新 dp，可以按 (k) 从小到大的顺序进行动态 dp。
「ZJOI2019」开关
记 (q_i=frac{p_i}{sum p_i})。
一种推导方法是使用集合幂级数：
记 (f_S) 表示当前开关状态为 (S)，到达终态的期望步数。有转移：
[egin{cases} f_S &= 1+sum_{i=1}^{n}f_{S m{xor} 2^i} imes q_i\ f_0 &= 0 end{cases} ]记 (I) 表示全 (1) 的序列，给不满足转移的 (f_0) 加上偏移量 (k)，可得卷积式：
[Fotimes Q + I = F+k ]即 (fwt(F) imes fwt(Q-1)=fwt(k-I))。
由于 (fwt(F)_S = sum_{T}(-1)^{|Scap T|}f_T)，得：
[egin{aligned} fwt(Q-1)_S&=sum_{i otin S}q_i-sum_{iin S}q_i-1\ fwt(k-I)_S&=-sum_{Tsubseteq S}(-1)^{|T|} imes 2^{n-|S|}+k \ &=-2^{n-|S|} imessum_{i=0}^{|S|}{|S|choose i}(-1)^i+k \ &=k-[S = empty] imes 2^n\ end{aligned} ]因此 (fwt(Q-1)_{empty} = 0)，推得 (fwt(k-I)_{empty} = k-2^n=0)，解得 (k = 2^n)。
当 (S eq empty) 时，有 (fwt(F)_S = frac{fwt(k-I)}{fwt(Q-1)} = frac{2^n}{sum_{i otin S}q_i-sum_{iin S}q_i-1})
由于 (ifwt(F)_S = frac{1}{2^n}sum_{T}(-1)^{|Scap T|}f_T)。则：
[egin{aligned} F_S &= frac{1}{2^n}(sum_{T ot =empty}frac{(-1)^{|Scap T|} imes 2^n}{sum_{i otin T}q_i-sum_{iin T}q_i-1} + fwt(F)_0) \ &= sum_{T ot =empty}frac{(-1)^{|Scap T|} imessum p_i}{sum_{i otin T}p_i-sum_{iin T}p_i-sum p_i} + frac{fwt(F)_0}{2^n} \ &= -sum_{T ot =empty}frac{(-1)^{|Scap T|} imessum p_i}{2sum_{iin T}p_i} + frac{fwt(F)_0}{2^n} end{aligned} ]如果已知 (frac{fwt(F)_0}{2^n})，以 (sum_{iin T}p_i) 为状态作背包 dp 就可以 (O(nsum p)) 算出 (F) 的某一项了。
注意到还有条件 (F_0 = 0)，可以通过这个条件解出 (frac{fwt(F)_0}{2^n})。
也可以用 EGF 推：
记 (F(z) = prod_{i=1}^{n}(frac{e^{q_iz}+e^{-q_iz}}{2})) 表示回到原状态的 EGF。
记 (G(z) = prod_{i=1}^{n}(frac{e^{q_iz}+(-1)^{s_i}e^{-q_iz}}{2})) 表示永不停止，按到终态的 EGF。
记 (hat F(z),hat G(z)) 分别是 EGF 对应的 OGF，则 (frac{hat G(z)}{hat F(z)}) 表示终态停止的 OGF，答案即为 ((frac{hat G(z)}{hat F(z)})'|_{z=1})。
设 (F(z)=sum a_k e^{kz})，则 (hat F(z) = sum frac{a_k}{1-kz})（此时 (k) 形如 (frac{sum_{iin S}p_i}{sum p_i})）。同理 (hat G(z)=sumfrac{b_k}{1-kz})。可以背包求出所有 (a, b)。
由于 ((frac{hat G(z)}{hat F(z)})'|_{z=1} = (frac{hat G'(z)hat F(z)-hat G(z)hat F'(z)}{hat F^2(z)})|_{z=1})，但是 (frac{1}{1-z}) 不能直接带，所以上下同乘 (1 - z)。
「ZJOI2019」语言
维护端点在 (x) 子树内的链构成的并集，则贡献为链并集中 dfs 序在 (x) 之前的点数。
链并集可以通过 (sum dep_{a_i} - sum dep_{lca(a_{i-1},a_i)}) 计算，其中 (a_i) 为按 dfs 序排好的链端点。注意 (a_i) 是连成环的，也即还需要计算首尾的 lca。
链并集中 dfs 序在 (x) 之前的点数，可以把 (x) 加入其中并弹掉 (x) 之后的点。
于是线段树合并即可，时间复杂度 (O(nlog^2 n))（求单次 (lca) 视作 (O(log))）。