「loj

link。

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时隔大约一年回来再做一遍。

看到自己当初用的是二项式反演，然后 ODE 的解法看起来非常构造（大概只是我不熟悉）。

气抖冷，难道平凡推导就推不出来吗！（也有可能我没搜到相关的）

推得出来的都不平凡。

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前排提醒：如果没写明取值范围则默认取所有有意义的值。

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先用集合幂级数或者 EGF 推，得到：

[egin{aligned} frac{1}{2^D}sum_{k=0}^{n-2m}sum_{i=0}^{k}sum_{j=0}^{D-k}(-1)^iinom{k}{i}inom{D-k}{j}inom{D}{k}(D-2i-2j)^n end{aligned} ]

以下记 (l = n - 2m)，并假设 (lin[0, D))（当 (l < 0) 或 (l geq D) 时是平凡的）。

注意到求和式中最硬的其实是 ((D - 2i - 2j)^n)，因为 (n) 非常大，只能将其看成一个整体而不能展开。

因此以下再记 (s = i + j)，则 (j = s - i)。原式化简成（省略 (frac{1}{2^D}) 的系数）：

[egin{aligned} sum_{s}(D-2s)^nsum_{i}sum_{k=0}^{l}(-1)^iinom{k}{i}inom{D-k}{s-i}inom{D}{k} end{aligned} ]

注意到后面的组合数可以消成 (frac{D!}{i!(k-i)!(s-i)!(D-k-s+i)!})。其中 (k) 只出现在两项中，因此可以变成：

[egin{aligned} &sum_{s}(D-2s)^ninom{D}{s}sum_{i}sum_{k=0}^{l}(-1)^iinom{s}{i}inom{D-s}{k-i} \ =&sum_{s}(D-2s)^ninom{D}{s}sum_{i}sum_{k=0}^{l}(-1)^{k-i}inom{s}{k-i}inom{D-s}{i} end{aligned} ]

这里有 (sum_{k=0}^{l} (-1)^{k-i}inom{s}{k-i} = (-1)^{l-i}inom{s - 1}{l-i})。

原因是 (sum(-1)^{k-i}inom{s}{k-i}x^{k-i} = (1 - x)^s)，求前缀和等价于乘以因子 (frac{1}{1 - x})，得到 ((1 - x)^{s - 1})。

当然如果你乐意，可以用上指标反转 + 平行求和来证。只是要注意 edge case。

为了方便，我们特判 (s = 0) 的情况，得到：

[egin{aligned} sum_{s > 0}(D-2s)^ninom{D}{s}sum_{i}(-1)^{l-i}inom{s - 1}{l-i}inom{D-s}{i} end{aligned} ]

这样只能得到 “对于所有 (s)，求 ([x^l](1-x)^{s-1}(1+x)^{D-s})” 之类的结果，不太好做。考虑再消组合数：

[egin{aligned} sum_{s > 0}frac{D-l}{s}(D-2s)^ninom{D}{l}sum_{i}(-1)^{l-i}inom{l}{l - i}inom{D-l-1}{s-1-l+i} end{aligned} ]

就变成了求 “对于所有 (s)，求 ([x^{s-1}](1-x)^l(1+x)^{D-l-1})”，至少可以 fft 了。

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考虑 (F = (1 - x)^l(1 + x)^{D - l - 1}) 可否用 ODE 来递推。发现 (F' = (-l) imesfrac{F}{1-x} + (D - l - 1)frac{F}{1+x})。

瓶颈卡在求 ((D - 2s)^n)，可以线性筛做到 (O(frac{D}{ln D} imes log n) = O(log_D n))。

你怎么写得还没 fft 快，丢人.jpg。

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如果想知道更简单的推导方法，可以参考 https://codeforces.com/blog/entry/76447 中的最后一个。

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难道用二项式反演就不能 ODE 递推吗！气抖冷！

貌似是可以的，注意到这里的二项式反演实际上就是复合 (F(x - 1))，复合之前 d-finite，复合之后自然也 d-finite。

没认真推过，推不出来别找我（