1053: [HAOI2007]反素数ant
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对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。
如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。
现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么？
Input
一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。
Output
不超过N的最大的反质数。
Sample Input
1000
Sample Output
840
【题解】
我一个蒟蒻怎么能自己想出来这题呢……不过总算理解了……
我还有好多数论知识没有掌握啊TAT
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首先，可以用组合数学证得，如果一个数n=a1x1×a2x2×……×akxk
那么，设函数ex-phi(n)表示n的约数的个数
可推导出ex-phi(n)=(x1+1)(x2+1)...(xk+1)
上面的结论称为定理1
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通过计算可以得出当N在2000000000以内时，最多只有10个素因子
证明：2*3*5*7*11*13*17*19*23*29≈60e>20e
上面的结论称为定理2
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小素因子多一定比大素因子多要优秀
小素因子多那么总因子多，ex-phi(n)肯定比大素因子多的大。
上面的结论称为定理3
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然而推出这些神奇的结论后，我们发现——
我们维护素因子从小到大数量的单调递减性即可。
然后就AC了……
看了黄学长的博客果断明白了这题……然而我觉得我这种蒟蒻应该多写点来锻炼。
贴上代码
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 int n; 5 int prime[11]={0,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}; 6 int ans=-1,ysans; 7 void tryy(int zs,ll sum,int dq,int sy,int res) { 8 if (ysans == res*(dq+1) && sum<ans) ans=sum; 9 if (res*(dq+1) > ysans) {ysans = res*(dq+1); ans=sum; } 10 if (dq+1<=sy && sum*prime[zs]<=n) 11 tryy(zs,sum*prime[zs],dq+1,sy,res); 12 for (int i=zs+1;i<=10;++i) 13 if(sum*prime[i]<=n) tryy(i,sum*prime[i],1,dq,res*(dq+1)); 14 } 15 int main() { 16 scanf("%d",&n); 17 tryy(1,1,0,2147483000,1); 18 printf("%lld ",ans); 19 return 0; 20 }
那个2147483000是我口胡的……因为你只要维护单调递减，而第一个数是什么并不影响。
可以证明，只需大于28即可……（有可能是错的，因为我看有人写20也A了。。）