从判断质数说起

从判断质数说起

以下定义能帮您更好理解本文:

0. 本文没有具体提到的数均为正整数（包括因数等）

1. 质数=素数=prime：除1与它本身，没有其他因数。

2. 开方=开平方=sqrt=square root

3. 本文如果没有明确说明，需要判断的质数的变量名均为n

第一章：朴素判断法

1.1 定义判断法

让我们来回顾下质数的定义

除1与它本身，没有其他因数的数，叫做质数

那么，我们就得出了定义判断法：

i循环[2,n-1]，判断是否存在i，使得n能被i整除。

显然，这是一个正确的算法，时间复杂度 O(n)

1.2 改进

然而我们发现，我们需要更高效的算法，于是，我们有了折半定义判断法：

明显地，i不需要做那么多次循环，只需要循环到[2,n/2]即可。

显然，这个算法是正确的，时间复杂度O(n/2)相当于O(n)级别的，但是范围能显著增加

1.3 再次改进

那么，是否还有更为高效的做法呢？

答案是有的：我们有了开方判断法：

明显低，1.2中，i还是做了很多无用功，实际上只需要循环到[2,sqrt(n)]即可，这个优化，大大缩小了数量规模

为什么呢？

如果n为合数，那么设ab=n，且a>=sqrt(n),b<=sqrt(n)，那么b肯定先被查找到，那么已经判断出来了合数，即可。

显然，时间复杂度O(sqrt(n))，能应付基本的判断质数了

第二章：筛法

2.1 埃斯托斯特尼筛法

具体做法是：给出要筛数值的范围sqrt(n)，找出sqrt(n)以内的素数p₁，p₂，p₃，......，p_k。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个素数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个素数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。

因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛法”，简称“筛法”。

大概就是这样吧，不懂的可以百度/google一下，判断n个数，时间复杂度O(nloglogn)

看起来挺好的了，但是还有更好的！

2.2 欧拉筛法

Eratosthenes筛法名字虽然高贵冷艳，但是并不难理解，原理就不多说了，但是它做了许多无用功，一个数会被筛到好几次，最后的时间复杂度是O（nloglogn），不要以为这个复杂度已经很好了，因为有直接O（n）的欧拉筛法存在，下面简单叙述一下其原理，最后由程序的运行结果来说明两者的差距。

欧拉筛法的思想就是不做无用功，原本Eratosthenes筛法的第一重循环是用来找素数，然后把素数的倍数标记，而欧拉筛法换了一个角度，第一位是找素数没有问题，但是标记的时候用的是所有数（合数素数都能用来做标记）来标记，并加上了一句特判来跳出循环，什么意思呢？对于当前的一个数i，欧拉筛法把从2， 3， 5....到小于 i 的最大素数分别和 i 相乘得到的数标记成合数。并且过程中一旦发现 i % （p[j]） == 0，则跳出循环，有什么用呢？这样做保证了每个合数只被他的最小素因子筛到一次，为什么？这么想，我们每次想要标记的数是 i * p[j]， 有因子p[j], 如果 i 没有因子 p[j] 则标记（这是第一次用p[j]标记的时候干的事）,易于发现当 i 中 p[j] 的指数为x时，i 是被 (i / p[j]) 这个数 * p[j] 时标记的，只标记了一次。

下面是两者对比的代码，网上看到说由于欧拉筛法的特判有取模运算，所以在数据小的时候不如Eratosthenes筛法快，亲测了一下，根本感觉不到差距，反而是数据变大以后，两者差距变得越来越明显，从消耗的时间上可以看出。（当然我在其中加了求欧拉函数的操作）。欧拉筛法的思想很巧妙，特别是应用在求一些积性函数的时候会比普通筛法更快，比如欧拉函数。

——Lerence1201

时间复杂度O(kn)，k为常数，很小，几乎忽略，线性时间算法。

第三章：最终章

米勒拉宾质数检验

首先，让我们来看看跟素数有关的费马定理：

如果 p 是素数，则对于所有整数 a，a ^p ≡ a (mod p)。

根据上述的费马定理，每当 p 是素数以及 a 不是 p 的倍数时，我们有 a ^{p - 1} ≡ 1 (mod p) 。而且有有效的方法计算 a ^{n - 1} mod n ，且只需要 O(log n) 个模 n 乘法运算。因此我们可以确定，当这个关系不成立时，n 不是素数。对于一个给定的数的非素性来说，费马定理是一个强有力的检验。当 n 不是素数时，总是有可能来求 a < n 的一个值，使得 a ^{n - 1} ≠ 1 (mod n) 。事实上，经验证明，这样一个值几乎总能非常快地求出。有某些稀少的 n 值，它们经常使得 a ^{n - 1} ≡ 1 (mod n) ，但在此情况下，n 有小于 n ^1/3 的因子。

我没有找到确定一个很大的数是否素数的有效的算法。但是 Miller-Rabin primatlity test 算法能够以很高的概率来检验一个很大的数是否素数。

具体可google一下，时间复杂度O(n)，能够非常快地判断出是否为质数，但有一定概率，为3/4判断对，2147483647内，如果选2、5、7，则都可以判断出来。