A message containing letters from A-Z is being encoded to numbers using the following mapping:
'A' -> 1 'B' -> 2 ... 'Z' -> 26
Given an encoded message containing digits, determine the total number of ways to decode it.
For example,
Given encoded message "12", it could be decoded as "AB" (1 2) or "L" (12).
The number of ways decoding "12" is 2.
问题：对给定纯数字字符串解码，求解法的可能情况有多少种。
注：0 开头的字符串算作无效， 例如， "02" 无法解码。
也是一道蛮典型的 DP 问题。
总的解码个数，等于对第一个数字单独解码的情况，加上对前两个数字一起解码的情况。
利用 vector<int> v 记录中间计算结果。 v[i] 表示 s[i...n] 的解码个数。
1 vector<int> v; 2 3 int decode(string s, int p){ 4 5 if (v[p] != -1) { 6 return v[p]; 7 } 8 9 if (s[0] == '0') { 10 v[p] = 0; 11 return 0; 12 } 13 14 if (s.size() == 1) { 15 v[p] = 1; 16 return 1; 17 } 18 19 if (s.size() == 2) { 20 int tmp = 0; 21 if (s[1] != '0') { 22 tmp++; 23 } 24 25 if (stoi(s) <= 26) { 26 tmp++; 27 } 28 v[p] = tmp; 29 return tmp; 30 } 31 32 33 int n1 = 0; 34 if (s[1] != '0') { 35 n1 = decode(s.substr(1), p+1); 36 } 37 38 int n2 = 0; 39 if (stoi(s.substr(0, 2)) <= 26) { 40 n2 = decode(s.substr(2), p+2); 41 } 42 43 int res = n1 + n2; 44 45 v[p] = res; 46 return res; 47 } 48 49 50 int numDecodings(string s) { 51 vector<int> tmp(s.size() , -1); 52 53 v = tmp; 54 55 if(s.size() == 0){ 56 return 0; 57 } 58 59 int res = decode(s, 0); 60 61 return res; 62 }
这道题解了两次，第一次没有解出来，放在一边，做了其他 DP 题目后，第二次再做，觉得顺畅了许多。
第一次解的时候，思路是分治（Divide and conquer）。
分治主要有三个步骤：
分(Divide) ：将原问题分割为类型相同的子问题。
治(Conquer) ：分别解决各个子问题
整合(Combine) ： 将各个子问题结果整合，得到原问题解。
算法： 将密码字符串从中间分割，分别求解两个子问题，并求解中间不分割的情况，整合三个结果，得到原问题的解。
但是，求解中间不分割情况处理起来比较复杂，就没有继续下去。
第二次解的时候，已经做了一些 DP 问题，思路就往 DP 方向想。
动态规划(Dynamic Programming) 的关键条件有两个：
重叠子问题(overlapping sub-problems) ： 子问题和原问题是同类型，解法可重用。这点和分治的前两个步骤类似。
最优子结构(optimal substructure) ：子问题的结果，可以比较直接地得到原问题的结果。
对于字符串问题，
若采用分治思路，左右子问题都必须求解，并且还要考虑中间不分割的情况，算法容易变得复杂。
若采用 DP 思路，从左往右一直扫过去，免去了分治中求整合的那一步骤，时间复杂度和分治应该差不多，不过算法实现更加简洁。