剑指offer 39.知识迁移能力 平衡二叉树

题目描述

输入一棵二叉树，判断该二叉树是否是平衡二叉树。

 

解题思路

/后续遍历二叉树，遍历过程中求子树高度，判断是否平衡

 

代码如下

public boolean IsBalanced_Solution(TreeNode root) {
                return getDepth(root) != -1;
            }
             
            private int getDepth(TreeNode root) {
                if (root == null) return 0;
                int left = getDepth(root.left);
                if (left == -1) return -1;
                int right = getDepth(root.right);
                if (right == -1) return -1;
                return Math.abs(left - right) > 1 ? -1 : 1 + Math.max(left, right);
            }

 平衡二叉树简介

定义

平衡二叉树也叫自平衡二叉搜索树（Self-Balancing Binary Search Tree），所以其本质也是一颗二叉搜索树，不过为了限制左右子树的高度差，避免出现倾斜树等偏向于线性结构演化的情况，所以对二叉搜索树中每个节点的左右子树作了限制，左右子树的高度差称之为平衡因子，树中每个节点的平衡因子绝对值不大于 ，此时二叉搜索树称之为平衡二叉树。

自平衡是指，在对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后，可能会导致树中某个节点的平衡因子绝对值超过 ，即平衡二叉树变得“不平衡”，为了恢复该节点左右子树的平衡，此时需要对节点执行旋转操作。

情景分析

在执行插入或删除节点操作后，平衡因子绝对值变为大于 的情况，即左右子树的高度差为 或 的情况，可以归纳为如下四种：

• 左左情况(LL)

情况是指根节点的平衡因子为 ，根节点的左子节点平衡因子为 或 。

 

LL_1

如图 LL_1 所示，当节点 的子节点被删除，或者节点 插入子节点 时，根节点 的平衡因子变为 ， 的左子节点 的平衡因子为 。

 

LL_2

或者如图 LL_2 所示，当节点 的子节点被删除，根节点 的平衡因子变为 ， 的左子节点 的平衡因子为 。

当根节点的左子树高度比右子树的高度大 ，因为平衡二叉树是一种有序结构，节点值之间具有大小关系，所以如果根节点保持不变，左右子树始终分隔两岸，则无论如何调整节点位置，二叉树始终不可能恢复平衡。所以需要更换根节点，使得新的根节点的左右子树的高度趋于平衡。

该情况下需要对平衡二叉树执行右旋操作：

1. 设置根节点 的左子节点为新的根节点 ；
2. 将 节点的右子树作为 节点的左子树，将 节点作为 的右子树，即降低“左子树”高度，提升“右子树”高度，使得新的左右子树高度趋于平衡；

对于图 LL_1，节点 的平衡因子为 ，设 节点的左子树 高度为 ，则右子树 高度为，因为 的平衡因子为 ，所以二叉树 的高度为： 。则右旋操作后， 的左子树高度不变为 ，右子树高度为：，此时二叉树为平衡二叉树，如下图 balanced_LL_1。

 

balanced_LL_1

对于图 LL_2，节点 的平衡因子为 ，设 节点的左右子树高度为 ，则二叉树 的高度为： 。右旋操作后， 的左子树高度不变为 ，右子树高度为：，此时二叉树为平衡二叉树，如下图 balanced_LL_2。

 

balanced_LL_2

• 右右情况(RR)

该情况与上面的左左情况具有对称性，对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后，根节点的平衡因子变为 ，根节点的右子节点平衡因子为 或 ，为了恢复二叉树的平衡，需要进行左旋，来使得新的左右子树高度区域平衡。

 

RR

如上图 所示，该情况下需要对平衡二叉树执行左旋操作：

1. 设置根节点 的右子节点为新的根节点 ；
2. 将 节点的左子树作为 节点的右子树，将 节点作为 的左子树，即降低“右子树”高度，提升“左子树”高度，使得新的左右子树高度趋于平衡；

左旋操作后，平衡二叉树如图 balanced_RR 所示。

 

balanced_RR