Manacher=马拉车
大家好，我们今天来扯Manacher算法了。
I.马拉车可以干什么？
一句话：对于一个字符串(s)，在(O(|S|))时间内，求出它的最长回文子串。
II.预处理
对于一个字符串，它的回文串可以有两种类型：
A.奇回文串
例:AACCBCCAA
特征:有单一回文中心（例中的B）。
B.偶回文串
例：AABBCCBBAA
特征：对称中心是两个（例中的BB）。
两者性质并不相同，必须分类讨论。
但是，我们有一种方法，可以将两者统一成一种类型：
在原串每两个字符之间，以及串头串尾，都加上一个无关字符（例如 # 等）。
例：
AABBCCDD( ightarrow) #A#A#B#B#C#C#D#D#。
ABCBA( ightarrow) #A#B#C#B#A#。
这样的话，原串中的奇回文串与偶回文串，都被统一成了奇回文串。（奇回文串变成以原串字符为对称中心的回文串，偶回文串变成以 # 为对称中心的回文串）。
代码（在读入时直接进行操作）：
inline void getln(){
s[0]='$',S=1;
char c=getchar();
while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
s[S]=' ';
}
III.主算法
（默认字符串从(0)开始）
（暂时忽略添加进来的 # 字符，因为忽略也无影响）
先考虑暴力思路：枚举对称中心，然后枚举对称半径。总复杂度(O(n^2))。
（当然，可以哈希+二分达到(O(nlog_2n))，但是这个思路对我们没有帮助）
同kmp算法一样，我们可以思考一些操作来避免重复枚举。
这时候我们就可以设两个变量：
(Rpos)：在沿着(s)顺序匹配时，当前所有出现过的回文串中，它的右边界达到的最右位置。
例:ABABAAC，在位置(3)时，(Rpos=4)。在位置(2)和(3)的回文串都曾达到这里。
(Centre)：对于当前的(Rpos)，它所对应的对称中心。如果有多个，取最左端的一个。
例:ABABAAC，在位置(3)时，(Centre=2)。在位置(2)和(3)的回文串都曾达到(Rpos)，但是(2)是最左端的一个。
我们再设一个数组(rad)，表示位置(i)时的回文半径。
| 字母 | A | B | A | B | A | A | C |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (rad_i) | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 | 1 | 1 |
（自动忽略了偶回文串）。
接下来我们就开始操作了。
初始令(Rpos=Centre=-1)。
对于当前位置(i)：
1. (i geq Rpos)
暴力延伸，这里是未涉及到的新地方。
2. (i < Rpos)
这时，我们令(ref)为(i)关于(Centre)的对称点（即(Centre*2-i)）。
同时令(Lpos)为(Rpos)关于(Centre)的对称点。
再令(lp)为以(ref)为对称中心的回文串的左边界。
2.1. (Lpos<lp)
因为是回文串，所以有(s_{Lpos}...s_{Centre}=s_{Rpos}...s_{Centre})
则关于(ref)对称的回文串，也是关于(i)对称的回文串（想一想，左右对称）。
如图：
2.2. (Lposgeq lp)
对称的只有从(i)到(Rpos)的一段，剩下的部分两边是不同的，仍需暴力扩展。
如图：
IV.实现
inline void Manacher(){
Centre=Rpos=-1;
for(register int i=0;i<S;i++){
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
}
}
实现与上面的描述很不一致，我们逐行分析。
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
用了三目运算符。
它的意思是：
如果(i<Rpos)，那么(rad_i=min(Rpos-i,rad_{Centre*2-i})
回忆一下，(ref)就是(Centre*2-i)。
(Rpos-i)，就是上文(2.2)中的可用部分。
(rad_{Centre*2-i})，就是上文(2.1)中的可用部分。
两者取(min)，就很显然了。
而当(i geq Rpos)时，(rad_i=1)（默认单个字符本身就为回文串）。
然后就是暴力跳了。
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
分析一下，在情形(1)和(2.2)，都需要暴力跳。在情形(2.1)，暴力跳一次就会退出。
然后按定义更新(Rpos)和(Centre)，同时取答案。
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
最终答案为(Ans-1)，因为在长度为(n)的原串中加入了(n+1)个 # 。但是(rad)又是半径，也要再加入(rad-1)个字符才能构成回文串。
总复杂度(O(n))。分析复杂度是不可能的，这辈子都是不可能的。
V.大礼包
本文所有代码使用的分隔符都是dollar符号，但是由于(LaTeX)的缘故，在讲解时使用 # 符号。另，还是因为(LaTeX)，文中的dollar符号全部莫名其妙多了一个空格，请自行删除。
（代码：【模板】manacher算法
#pragma GCC optimise(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[22000100];
int S,rad[22001000],Centre,Rpos,Ans;
inline void getln(){
s[0]='$',S=1;
char c=getchar();
while(c>'z'||c<'a')c=getchar();
while(c>='a'&&c<='z')s[S++]=c,s[S++]='$',c=getchar();
s[S]=' ';
}
inline void Manacher(){
Centre=Rpos=-1;
for(register int i=0;i<S;i++){
rad[i]=(i<Rpos)?min(Rpos-i,rad[Centre*2-i]):1;
while(i+rad[i]<S&&i-rad[i]>=0)if(s[i+rad[i]]==s[i-rad[i]])rad[i]++;else break;
if(i+rad[i]>Rpos)Rpos=i+rad[i],Centre=i;
Ans=max(Ans,rad[i]);
}
}
int main(){
getln();
Manacher();
printf("%d
",Ans-1);
return 0;
}
（忽略上面的O3）