XIII.[SDOI2016]征途
这题已经在我的任务列表里吃了大半年的灰了……（去年7月加进来的，到现在已经8个月了）
开始推式子。
我们设第\(i\)天的路程是\(l_i\)，
则我们的目的是最小化
\(s^2=\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{(\overline{l}-l_i)^2}{m}\)
代入平均值的定义
\(s^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^m\bigg(\tfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}-l_i\bigg)^2}{m}\)
暴力展开平方项
\(s^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^m\bigg(\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}\bigg)^2-2*l_i*\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}+l_i^2}{m}\)
分离\(\Sigma\)
\(s^2=\dfrac{m\bigg(\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}\bigg)^2-2*\sum\limits_{i=1}^ml_i*\dfrac{\sum\limits_{j=1}^ml_j}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}\)
稍作整合
\(s^2=\dfrac{\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}-2*\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}\)
合并
\(s^2=\dfrac{-\dfrac{(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2}{m}+\sum\limits_{i=1}^ml_i^2}{m}\)
乘以\(m^2\)
\(s^2m^2=-(\sum\limits_{j=1}^ml_j)^2+m\sum\limits_{i=1}^ml_i^2\)
右边的等式中，左边是定值（等于总路程的平方）；右边则要我们最小化\(\sum\limits_{i=1}^ml_i^2\)。
设\(f[i][j]\)表示：前\(i\)天内分成了\(j\)段的最小平方和。再设\(s_i\)表示路程的前缀和。
则有\(f[i][j]=\min\limits_{k=0}^{i-1}\{f[k][j-1]+(s_i-s_k)^2\}\)
可以\(n^2m\)的进行暴力DP，能拿到\(60\%\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s[3010],f[3010][3010];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
f[0][0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=min(i,m);j++)for(int k=0;k<i;k++)f[i][j]=min(f[i][j],f[k][j-1]+(s[i]-s[k])*(s[i]-s[k]));
printf("%d\n",m*f[n][m]-s[n]*s[n]);
return 0;
}
我们尝试按段数DP，而不是按天数DP。即，在\(f[i][j]\)中，优先枚举\(j\)。
在枚举\(j\)后，我们就可以暂时忽略\(j\)这一维了。
我们有\(f[i]=\min\limits_{j=0}^{i-1}\{F[j]+(s_i-s_j)^2\}\)。其中，这个\(F[j]\)是上一轮DP时的\(f\)值，即原本的\(f[i][j-1]\)（注意这个\(j\)和上面递推式里面的枚举的\(j\)不是同一个\(j\)）
假设\(j<k<i\)，且\(j\)比\(k\)优，
则有
\(F[j]+(s_i-s_j)^2<F[k]+(s_i-s_k)^2\)
暴力展开
\(F[j]+s_i^2-s_is_j+s_j^2<F[k]+s_i^2-s_is_k+s_k^2\)
合并同类项
\(F[j]-s_is_j+s_j^2<F[k]-s_is_k+s_k^2\)
移项
\(F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2<s_is_j-s_is_k\)
提一下
\(F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2<s_i(s_j-s_k)\)
除过去（注意\(s_j-s_k\)是负的！！！）
\(\dfrac{F[j]-F[k]+s_j^2-s_k^2}{s_j-s_k}>s_i\)
左边的东西与\(i\)无关；右边的东西单调增；
那不就可以了吗！！！
维护下凸壳，直接斜率优化硬套，完事。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,s[3010],f[3010][3010],q[3010],l,r;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&s[i]),s[i]+=s[i-1];
f[0][0]=0;
for(int j=1;j<=m;j++){
l=r=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
while(r-l&&f[q[l]][j-1]-f[q[l+1]][j-1]+s[q[l]]*s[q[l]]-s[q[l+1]]*s[q[l+1]]>=2*s[i]*(s[q[l]]-s[q[l+1]]))l++;
f[i][j]=f[q[l]][j-1]+(s[i]-s[q[l]])*(s[i]-s[q[l]]);
while(r-l&&(f[q[r-1]][j-1]-f[q[r]][j-1]+s[q[r-1]]*s[q[r-1]]-s[q[r]]*s[q[r]])*(s[q[r]]-s[i])>=(f[q[r]][j-1]-f[i][j-1]+s[q[r]]*s[q[r]]-s[i]*s[i])*(s[q[r-1]]-s[q[r]]))r--;
q[++r]=i;
}
}
printf("%d\n",m*f[n][m]-s[n]*s[n]);
return 0;
}