XLIII.CF888F Connecting Vertices
这个奇怪的限制（两条边不能有交点）让我们想到什么？
对于任何一种方案，不存在\(x_0<x_1<y_0<y_1\)，其中连边\((x_0,y_0),(x_1,y_1)\)。
也就是说，对于任何一段区间\([i,j]\)，如果里面所有点全都连通：
要么\(i,j\)两点之间自己连了条边，此时，存在且仅存在一个\(k\)，使得区间\([i,k]\)和\([k+1,j]\)间有且只有\((i,j)\)一条边；
要么可以找到一个点\(k\)，使得区间\([i,k-1]\)与\([k+1,j]\)之间没有边，并且\(k\)与两个集合连通。
因此我们可以轻而易举写出：
\((a_{i,j}=1):f[i,j]=\sum\limits_{k=i}^{j} f[i,k]*f[k+1,j]\)
\(f[i,j]=\sum\limits_{k=i+1}^{j-1} f[i,k]*f[k,j]\)
但是这样会出问题：
要么可以找到一个点$k$，使得区间$[i,k-1]$与$[k+1,j]$之间没有边，并且$k$与两个集合连通。
并不表示这样的\(k\)唯一。例如，\((1,2)\rightarrow(2,3)\rightarrow(3,4)\)中，\(2\)是一个\(k\)，\(3\)也是一个\(k\)，这同一种方案就被算了两边！
因此，我们可以只拿最左边那个\(k\)为准。即，\(i\)与\(k\)直接连边的\(k\)才是好\(k\)。
我们新增维数：
设\(f[i,j][0/1]\)表示：区间\(i,j\)全部连通，并且\(i,j\)强制连边/强制不连边。
则有
\((a_{i,j}=1):f[i,j][0]=\sum\limits_{k=i}^{j} (f[i,k][0]+f[i,k][1])*(f[k+1,j][0]+f[k+1,j][1])\)
\(f[i,j]=\sum\limits_{k=i+1}^{j-1} f[i,k][0]*(f[k,j][0]+f[k,j][1])\)。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int n,f[510][510][2];
bool g[510][510];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)scanf("%d",&g[i][j]);
for(int i=1;i<=n;i++)f[i][i][0]=1;
for(int l=2;l<=n;l++)for(int i=1,j=i+l-1;j<=n;i++,j++){
if(g[i][j])for(int k=i;k<j;k++)(f[i][j][0]+=1ll*(f[i][k][0]+f[i][k][1])*(f[k+1][j][0]+f[k+1][j][1])%mod)%=mod;
for(int k=i+1;k<j;k++)if(g[i][k])(f[i][j][1]+=1ll*f[i][k][0]*(f[k][j][0]+f[k][j][1])%mod)%=mod;
}
printf("%d\n",(f[1][n][0]+f[1][n][1])%mod);
return 0;
}