LXXVII.[CmdOI2019]任务分配问题
这道题与LXI.CF868F Yet Another Minimization Problem长得很像。实际算法也类似。
首先，题意就是把所有数划分成\(k\)段，使得每段内部正序对数量之和最少。设\(w(i,j)\)表示区间\((i,j)\)内部正序对数量。则很轻松就能得到
\[w(i-1,j+1)+w(i,j)\geq w(i,j+1)+w(i-1,j)
\]
因为其它所有正序对都在两个中被统计了，唯独\((i-1,j+1)\)的正序对只有可能在前一半中被统计。因此此式显然成立，即四边形不等式成立，可以使用决策单调性优化。
因此直接套用分治+类似莫队的\(w\)求法即可。复杂度\(O(nk\log^2n)\)。
代码（将正序对转换成了逆序对）：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long lol;
int n,m,t[25010],a[25010],ll,rr;
lol res,f[25010],g[25010];
void add(int x,int y){
while(x<=n)t[x]+=y,x+=x&-x;
}
int ask(int x){
int rt=0;
while(x)rt+=t[x],x-=x&-x;
return rt;
}
lol calc(int l,int r){
if(l>r)return 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
while(l>ll)add(a[ll],-1),res-=ask(a[ll]),ll++;
while(l<ll)--ll,res+=ask(a[ll]),add(a[ll],1);
while(r<rr)add(a[rr],-1),res-=ask(n)-ask(a[rr]),rr--;
while(r>rr)++rr,res+=ask(n)-ask(a[rr]),add(a[rr],1);
return res;
}
void func(int l,int r,int L,int R){
if(l>r||L>R)return;
int mid=(l+r)>>1,mp;
lol mn=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
for(int i=L;i<=R;i++)if(f[i]+calc(i+1,mid)<mn)mn=f[i]+calc(i+1,mid),mp=i;
g[mid]=mn;
func(l,mid-1,L,mp),func(mid+1,r,mp,R);
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),a[i]=n-a[i]+1,res+=ask(n)-ask(a[i]),f[i]=res,add(a[i],1);
ll=1,rr=n;
while(--m)func(1,n,0,n-1),memcpy(f,g,sizeof(f));
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}