【模板】多项式快速幂

VI.【模板】多项式快速幂

我们要求\(g=f^k\)

两边求\(\ln\)得到

\[\ln g=k\ln f \]

然后再幂回去

\[g=e^{k\ln f} \]

于是一次\(\ln\)，一次\(\exp\)即可解决。

关于那个超大的\(k\)，在读入的时候直接\(\bmod\)上去即可。

时间复杂度\(O(n\log n)\)。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int n,m,rev[N],f[N],g[N],all;
int ksm(int x,int y){
	int rt=1;
	for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
	return rt;
}
void NTT(int *a,int tp,int LG){
	int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
	for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
	for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int md=1;md<lim;md<<=1){
		int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
		if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
		for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
			int w=1;
			for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
				int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
				a[pos+i]=(x+y)%mod;
				a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N],D[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//get a*b multiplied together in array c.(can be the same array)
	int lim=(1<<LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
	for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
	NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
	NTT(A,-1,LG);
	for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b,int LG){//get a^{-1} in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	b[0]=ksm(a[0],mod-2);
	for(int k=1;k<=LG+1;k++){
		mul(b,a,C,k);
		for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
		(C[0]+=2)%=mod;
		mul(C,b,b,k);
	}
}
void diff(int *a,int *b,int lim){//get the diffentiated array of a in array b(can be the same array)
	for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
	b[lim-1]=0;
}
void inte(int *a,int *b,int lim){//get the intergrated array of a in array b(can be the same array)
	for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
	b[0]=0;
}
void ln(int *a,int *b,int LG){//get ln(a) in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	inv(a,b,LG);
	diff(a,C,1<<LG);
	mul(b,C,b,LG+1);
	inte(b,b,1<<LG);
}
void exp(int *a,int *b,int LG){//get e^a in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	b[0]=1;
	for(int k=1;k<=LG+1;k++){
		ln(b,D,k-1);
		for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
		D[0]=(D[0]+1)%mod;
//		for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)printf("%d ",D[i]);puts("");
		mul(b,D,b,k);
	}
}
void ksm(int *a,int k,int *b,int LG){//get a^k in array b(CAN'T BE THE SAME ARRAY)
	ln(a,b,LG);
	for(int i=0;i<(1<<LG);i++)a[i]=1ll*b[i]*k%mod;
	exp(a,b,LG);
}
void getm(){
	m=0;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')m=(10ll*m+ch-'0')%mod,ch=getchar();
} 
int main(){
	scanf("%d",&n),getm();
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
	while((1<<all)<n)all++;
	ksm(f,m,g,all);
	for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
	return 0;
}