XV.付公主的背包
注意这份题解中\(f_i\)的意义是\(f\)的\(i\)次项系数，而\(f_i(x)\)的意义是第\(i\)个多项式！
对于每个商品，设它的体积为\(v\)，则我们可以设一个\(f\)，其中\(f_i=[v|i]\)。
则最终的答案，就是所有商品的\(f\)的卷积。
我们把\(f\)写成函数的形式，它就变成\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}[v|i]x^i\)。
于是我们现在要求
\[ans=\prod\limits_{i=1}^nf_i(x)
\]
我们觉得乘起来很不爽，就企图把它转成加起来的形式。
怎么转呢？两边取\(\ln\)。
于是
\[\ln ans=\sum\limits_{i=1}^n\ln f_i(x)
\]
于是现在关键就是求出\(\ln f_i(x)\)。显然我们不能直接求\(\ln\)——那样复杂度就会是很糟糕的\(O(n^2\log n)\)。我们考虑\(\ln f(x)\)有何性质。
首先，我们如果令\(x\in(-1,1)\)的话，运用等比数列求和公式，就有
\[f(x)=\dfrac{1}{1-x^v}
\]
我们设\(g=\ln f\)，则有
\[g=\int\dfrac{f'}{f}
\]
套用\(f\)的定义（\(\dfrac{1}{1-x^v}\)），就有
\[g=\int(1-x^v)f'
\]
再套\(f\)的另一种定义\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}[v|i]x^i\)的变种\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}x^{iv}\)，就有
\[g=\int(1-x^v)\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times v\times x^{iv-1}
\]
拆括号
\[g=\int\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times v\times x^{iv-1}-\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times v\times x^{(i+1)v-1}
\]
调整第\(2\)项的枚举范围
\[g=\int\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times v\times x^{iv-1}-\sum\limits_{i=2}^{\infty}(i-1)\times v\times x^{iv-1}
\]
然后发现第二项的\(i=1\)也可以加入枚举范围中
\[g=\int\sum\limits_{i=1}^{\infty}i\times v\times x^{iv-1}-\sum\limits_{i=1}^{\infty}(i-1)\times v\times x^{iv-1}
\]
然后两个一合并就得到
\[g=\int\sum\limits_{i=1}^{\infty}v\times x^{iv-1}
\]
于是再积分回去就得到
\[g=\sum\limits_{i=1}^{\infty}v\times x^{iv}\times\dfrac{1}{iv}
\]
即
\[g=\sum\limits_{i=1}^{\infty}\dfrac{x^{iv}}{i}
\]
大功告成！
（悄悄说一句，这个是可以通过打表找规律猜出来的）
于是我们现在有
\[\Large\ln ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{v_i}\right\rfloor}\dfrac{x^{jv_i}}{j}
\]
这个如果开桶装的话（因为不能排除它给你\(n\)个大小为\(1\)的商品），就有
\[\Large\ln ans=\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=1}^{\left\lfloor\frac{m}{i}\right\rfloor}\dfrac{buc_i\times x^{ij}}{j}
\]
其中\(buc_i\)为大小为\(i\)的商品数。
显然，可以用\(O(n\log n)\)的时间求出\(\ln ans\)（调和级数时间），然后再\(\exp\)回去即可。
时间复杂度\(O(n\log n)\)。
代码：
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int ksm(int x,int y){
int rt=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
return rt;
}
int n,m,f[N],g[N],all,INV[N],buc[N];
namespace Poly{
int rev[N];
void NTT(int *a,int tp,int LG){
int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1){
int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
int w=1;
for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
a[pos+i]=(x+y)%mod;
a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
int lim=(1<<LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,-1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
b[0]=ksm(a[0],mod-2);
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
mul(b,a,C,k);
for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
(C[0]+=2)%=mod;
mul(C,b,b,k);
}
}
void diff(int *a,int *b,int lim){
for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
b[lim-1]=0;
}
void inte(int *a,int *b,int lim){
for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
b[0]=0;
}
void ln(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
inv(a,b,LG);
diff(a,C,1<<LG);
mul(b,C,b,LG+1);
inte(b,b,1<<LG);
}
void exp(int *a,int *b,int LG){//using: Array D
b[0]=1;
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
ln(b,D,k-1);
for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
D[0]=(D[0]+1)%mod;
mul(b,D,b,k);
}
}
}
using namespace Poly;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
while((1<<all)<=m)all++;
INV[1]=1;for(int i=2;i<=m;i++)INV[i]=(-1ll*(mod/i)*INV[mod%i]%mod+mod)%mod;
for(int x;n--;)scanf("%d",&x),buc[x]++;
for(int i=1;i<=m;i++)for(int j=1;i*j<=m;j++)(f[i*j]+=1ll*buc[i]*INV[j]%mod)%=mod;
exp(f,g,all);
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",g[i]);
return 0;
}
/*
5 100
5 6 8 10 13
*/