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  • [TJOI2015]概率论

    IX.[TJOI2015]概率论

    O E I S 大 法 好

    我们设\(f(x)\)表示\(x\)个节点的二叉树的叶子节点个数之和,\(g(x)\)表示\(x\)个节点的二叉树总数。则答案就是\(\dfrac{f(n)}{g(n)}\)

    显然\(g\)就是卡特兰数;\(f\)通过\(O(n^4)\)暴力DP可以打出表来,发现是

    1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870...

    丢进OEIS一看,发现它就是\(\dbinom{2n-2}{n-1}\)。然后\(g\)的递推公式就是\(\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}\);两个一除,推推式子就得到了答案\(\dfrac{n(n+1)}{2(2n-1)}\)

    考虑它的实际意义——

    一棵\(n\)个点的二叉树,假设它又长出了一片叶子,则这就对应了一棵\(n+1\)个节点的二叉树。显然这片叶子有\(2n-(n-1)=n+1\)种长法。

    我们再来考虑一棵\(n+1\)个节点的二叉树。删去它的每个叶子,都会得到一棵\(n\)个点的二叉树。显然这两种情况是一一对应的。

    故我们就有\((n+1)g(n)=f(n+1)\)。代入\(g\)的递推式,就能得到\(f\)

    代码(注释部分是\(O(n^4)\)的DP):

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n;
    //int f[110][110],g[110],p[110];
    int main(){
    	scanf("%d",&n);
    	printf("%.10Lf",(long double)(n+1)*n/2/(2*n-1));
    //	f[0][0]=f[1][1]=1;
    //	for(int i=2;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++)for(int k=0;k<i;k++)for(int l=0;l<=j;l++)f[i][j]+=f[k][l]*f[i-1-k][j-l];
    //	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<=i;j++)p[i]+=f[i][j]*j;
    //	g[0]=1;
    //	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=0;j<i;j++)g[i]+=g[j]*g[i-j-1];
    //	for(int i=1;i<=n;i++)printf("(%lld/%lld)",p[i],g[i]);
    	return 0;
    }
    

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Troverld/p/14610945.html
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