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  • [HNOI2011]XOR和路径

    XI.[HNOI2011]XOR和路径

    同上题一样,本题采用倒序DP的方式。

    我们考虑按位处理。设当前处理到第\(p\)位,再设\(f_i\)表示从位置\(i\)出发,到达终点时的期望结果。

    则对于一条边\((x,y,z)\),如果\(z\)在第\(p\)位上是\(1\),则有\(f_x\leftarrow 1-f_y\);否则,则有\(f_x\leftarrow f_y\)

    对于一个节点\(x\),它可以从所有与它有边的节点转移过来;故直接高斯消元跑一下即可。

    时间复杂度\(O(n^3\log n)\)

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int n,m,head[110],out[110],cnt;
    struct node{
    	int to,next,val;
    }edge[20100];
    void ae(int u,int v,int w){
    	edge[cnt].next=head[u],edge[cnt].to=v,edge[cnt].val=w,head[u]=cnt++,out[u]++;
    	if(u!=v)edge[cnt].next=head[v],edge[cnt].to=u,edge[cnt].val=w,head[v]=cnt++,out[v]++;
    }
    long double g[110][110],res;
    void Gauss(int x){
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		if(i==n){g[i][i]=1;continue;}
    		for(int j=head[i];j!=-1;j=edge[j].next){
    			if(edge[j].val&(1<<x))g[i][edge[j].to]-=1.0/out[i],g[i][n+1]-=1.0/out[i];
    			else g[i][edge[j].to]+=1.0/out[i];
    		}
    		g[i][i]-=1;
    	}
    	for(int i=1;i<=n;i++){
    		int mx=i;
    		for(int j=i+1;j<=n;j++)if(abs(g[mx][i])<abs(g[j][i]))mx=j;
    		if(i!=mx)for(int j=i;j<=n+1;j++)swap(g[mx][j],g[i][j]);
    		for(int j=1;j<=n;j++){
    			if(i==j)continue;
    			double tmp=g[j][i]/g[i][i];
    			for(int k=i;k<=n+1;k++)g[j][k]-=tmp*g[i][k];
    		}
    	}
    	res+=(g[1][n+1]/g[1][1])*(1<<x);
    	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n+1;j++)g[i][j]=0;
    }
    int main(){
    	scanf("%d%d",&n,&m),memset(head,-1,sizeof(head));
    	for(int i=1,x,y,z;i<=m;i++)scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),ae(x,y,z);
    	for(int i=0;i<=30;i++)Gauss(i);
    	printf("%.3Lf\n",res);
    	return 0;
    }
    

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