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  • [JXOI2018]游戏

    XIII.[JXOI2018]游戏

    这题好像根本不算概率期望罢……

    我们考虑\([l,r]\)中,如果删去了区间中所有不是区间中其他任何数的倍数的数,则整个区间内所有的数都会被删去;反之,假如剩下了某些不是区间中其他任何数的倍数的数,则此区间一定不会被全部删完。

    于是我们考虑求出区间中上述数的个数。考虑一个数满足上述条件的充分必要条件,就是它的最大约数\(<l\)。一个数的最大约数,可以直接通过线性筛求出来,复杂度\(O(n)\)

    然后我们考虑计算答案。我们考虑最后一个满足条件的数出现在序列中第\(i\)个位置的情形(应有\(i\geq m\)):

    此时,共有

    \[(i-1)!\times m\times\dbinom{n-m}{i-m}\times (n-i)! \]

    个排列满足上述条件。其中,\((i-1)!\)是枚举前\(i-1\)个位置填哪些数,\(m\)是枚举第\(i\)个位置填什么数,\(\dbinom{n-m}{i-m}\)找出哪些不满足条件的数应被填入前\(i\)个位置中,\((n-i)!\)枚举剩下位置的方案数。

    组合数和阶乘可以通过\(O(n)\)预处理得到;则总复杂度\(O(n)\)

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int mod=1e9+7;
    int l,r,n,m,pri[10010000],fac[10010000],inv[10010000],res;
    void Ural(){
    	if(l==1){m=1;return;}
    	for(int i=2;i<=r;i++){
    		if(!pri[i])pri[++pri[0]]=i,m+=(l<=i);
    		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=r;j++){
    			pri[i*pri[j]]=true;
    			m+=(l<=i*pri[j]&&l>i);
    			if(!(i%pri[j]))break;
    		}
    	}
    }
    int ksm(int x,int y){
    	int z=1;
    	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)z=1ll*z*x%mod;
    	return z;
    }
    #define C(x,y) (1ll*fac[(x)]*inv[(y)]%mod*inv[(x)-(y)]%mod)
    int main(){
    	scanf("%d%d",&l,&r),n=r-l+1;
    	Ural();
    	fac[0]=1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
    	for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
    	for(int i=m;i<=n;i++)(res+=1ll*i*m%mod*fac[i-1]%mod*C(n-m,i-m)%mod*fac[n-i]%mod)%=mod;
    	printf("%d\n",res);
    	return 0;
    }
    

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Troverld/p/14610995.html
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