【BZOJ】【1010】【HNOI2008】玩具装箱Toy

DP/斜率优化

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　　根据题目描述很容易列出动规方程：$$ f[i]=min{ f[j]+(s[i]-s[j]+i-j-1-L)^2 }$$

　　其中 $$s[i]=sum_{k=1}^{i} c[k] $$

　　而$x$即为$s[i]-s[j]+i-j-1$

　　这个$x$的表示实在太不好看，我们容易发现$i-j$其实是可以跟$s[i]-s[j]$合到一起的，即令 $c[i]=c[i]+1$，则$s[i]=sum_{k=1}^{i} (c[i]+1)=sum_{k=1}^{i}c[i]+i $，所以$x=s[i]-s[j]-1$。再将那个$-1$与$L$合并，即$L=L+1$，然后我们就得到整理后的方程：$$ f[i]=min{ f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 } $$

　　证明决策单调性：$( j > k )$

[ egin{aligned} f[j]+(s[i]-s[j]-L)^2 &< f[k]+(s[i]-s[k]-L)^2 \ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) &< 2*(s[i]-L)*(s[j]-s[k]) \ frac{ f[j]-f[k]+(s[j]^2-s[k]^2) }{ 2*(s[j]-s[k]) } &< s[i]-L end{aligned} ]

　　这里将 $s[i]-L$ 当作一个整体来计算

/**************************************************************
    Problem: 1010
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:132 ms
    Memory:2640 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 1010
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*=sign;
}
const int N=50010;
typedef long long LL;
/******************tamplate*********************/
LL c[N],s[N],f[N];
int q[N],l,r;
double slop(int k,int j){
    return double(f[j]+s[j]*s[j]-f[k]-s[k]*s[k])/
        double(2*(s[j]-s[k]));
}
int main(){
    int n=getint(),L=getint()+1;
    F(i,1,n){
        c[i]=getint()+1;
        s[i]=s[i-1]+c[i];
    }
    F(i,1,n){
        while(l<r && slop(q[l],q[l+1])<s[i]-L) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+(s[i]-s[t]-L)*(s[i]-s[t]-L);
        while(l<r && slop(q[r-1],q[r])>slop(q[r],i))r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld
",f[n]);
    return 0;
}

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

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Description

P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维 容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度 将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作 出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

HINT

Source

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